纠错曲线
传输错误
【Reed-Solomon 擦除码 Python 实现 一 (上)：多项式编码的原理】 https://www.bilibili.com/video/BV1CC4y1S7CL/?share_source=copy_web&vd_source=04259c9260832797bf08914e26e438d5
想象一下这样的场景：你在网上输入银行卡号“6225 8866 1234 5678”，但网络传输过程中，其中一个数字被干扰成了“6225 8766 1234 5678”。接收方如何发现并纠正这个错误？
最简单的纠错方法是重复传输。例如：
重复两次：发送方发送两次卡号。若两次结果不一致（如“6225 8866”与“6225 8766”），接收方知道存在错误，但无法确定哪次正确。
重复三次：发送方发送三次卡号。接收方采用“少数服从多数”原则，例如若两次为“8866”、一次为“8766”，则判定正确值为“8866”。
但这种方法效率极低。假设卡号有16位，重复三次需要传输48位数据，冗余量高达200%。在传输高清视频时（约1.5Gbps），这意味着每天额外浪费16TB带宽，这种冗余将成为不可承受之重。我们需要更高效的纠错方法。
曲线连点
在寻找高效纠错方法前，先解决一个数学问题：如何用一条曲线连接一组随机分布的点？
两点成线：给定两个点(x1,y1)和(x2,y2)，存在唯一一条直线y=ax+b穿过它们。
三点成圆：给定三个点（不在同一直线上），存在唯一一个圆(x−h)2+(y−k)2=r2穿过它们。
n点成多项式曲线：推广到n个点，存在唯一一个次数不超过n−1的多项式曲线穿过所有点。例如，四个点可用三次多项式f(x)=ax3+bx2+cx+d连接。
这一结论被称为拉格朗日插值定理（Lagrange Interpolation Theorem）。它告诉我们：任意n个横坐标不同的点，可由唯一一个次数小于n的多项式精确穿过。这一数学工具，正是高效纠错的核心。
高效纠错
1960年，欧文·里德（Irving Reed）和古斯塔夫·所罗门（Gustave Solomon）提出了一种革命性思路：将数据编码为多项式系数，通过冗余点实现纠错。
假设需传输16个数字a1,a2,...,a16，构造一个15次多项式：
为添加冗余，额外计算该多项式在更多点x17,x18,...处的值f(x17),f(x18),...，并将这些值一同传输。例如：
添加2个冗余点：可纠正1个错误。
添加4个冗余点：可纠正2个错误。
接收方收到数据后，尝试用拉格朗日插值法重建多项式。若传输无误，所有点应落在同一15次多项式曲线上。若存在错误（如某个点被篡改），则会出现“偏离曲线”的数据点。
例如，若原始数据对应16个点，添加4个冗余点后，即使传输过程中有2个点出错，仍可通过剩余18个正确点重建原多项式。这种方法的冗余率仅为25%（4/16），远低于三次重复法的200%。