一、学习材料

《普林斯顿微积分读本》

1 函数基本概念

函数是将一个「对象」转化为「另一个对象」的「规则」。

起始对象称为「输入」，来自称为「定义域」的集合。返回对象称为「输出」，来自称为「上域」的集合。

假设你写出 f(x)=x2，这就定义了一个「函数f」，它「会将任何数变为自己的平方」。

由于你没有说明其定义域或上域，我们不妨假设它们都属于 R，即所有实数的集合。这样，你就可以将任何实数平方, 并得到一个实数。例如，f将2变为4、将−1/2变为 1/4, 将1变为1。

最后一个变换根本没有什么变化，但这没问题， 因为转变后的对象不需要有别于原始对象。

2 变换规则

当你写出 f(2)=4的时候, 这实际上意味着 f 将 2 变为 4。

顺便要说的是，f是一个变换规则，而f(x)是把这个变换规则应用于变量x后得到的结果。

因此, 说 “f(x)是一个函数” 是不正确的, 应该说 “f是一个函数”。

3 变换规则vs函数

现在，令 g(x)=x2, 其定义域仅包含大于或等于零的数 (这样的数称为非负的)。它看上去好像和函数 f 是一样的, 但它们实际不同，因为各自的定义域不同。例如, f(−1/2)=1/4, 但 g(−1/2) 却是没有定义的。函数 g 会拒绝非其定义域中的一切。

由于 g 和 f 有相同的规则, 但 g 的定义域小于 f 的定义域, 因而我们说 g 是由限制 f 的定义域产生的。

4 定义域意义

仍然令 f(x)=x2，f(马) 会是什么呢？这显然是无定义的，因为你不能平方一匹马呀。

另一方面, 让我们指定 “h(x)=x的腿的数目”, 其中 h 的定义域是所有动物的集合。这样一来, 我们就会得到 h(马)=4，h(蚂蚁)=6, h(鲑鱼)=0。因为动物腿的数目不会是负数或者分数, 所以 h 的上域可以是所有非负整数的集合。

顺便问一下, h(2) 会是什么呢？当然, 这也是没有定义的, 因为 2 不在 h 的定义域中。“2” 究竟会有几条腿呢？这个问题实际上没有任何意义。

你或许也可以认为 h(椅子)=4, 因为多数椅子都有四条腿, 但这也没有意义, 因为椅子不是动物, 所以 “椅子” 不在 h 的定义域中, 也就是说, h(椅子)是没有定义的。

5 函数的要求

假设你有一条狗, 它叫 Junkster. 可怜的 Junkster 不幸患有消化不良症。它吃点东西, 嚼一会儿, 试图消化食物, 可每次都失败, 都会吐出来. Junkster 将食物变成了 · · · · · · 我们可以令 “j(x) = Junkster 吃 x 时呕吐物的颜色”。其中 j的定义域是 Junkster 所吃的食物的集合, 其上域是所有颜色的集合。为了使之有效, 我们必须认为如果 Junkster 吃了玉米面卷, 它的呕吐物始终是一种颜色 (假设是红色的吧)。如果有时候是红色的, 而有时候是绿色的，那就不太好了。

一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出。

6 值域vs上域

现在我们要来看看函数值域的概念。值域是所有可能的输出所组成的集合。你可以认为函数转变其定义域中的一切, 每次转变一个对象; 转变后的对象所组成的集合称作值域。可能会有重复, 但这也没么。

那么, 为什么值域和上域不是一回事呢？

值域实际上是上域的一个子集。上域是可能输出的集合, 而值域则是实际输出的集合。 \n下面给出上述函数的值域。

如果 f(x)=x2, 其定义域和上域均为 R, 那么其值域是非负数的集合。毕竟, 平方一个数, 其结果不可能是负数。那你又如何知道值域是所有的非负数呢？其实, 如果平方每一个数, 结果一定包括所有的非负数。例如, 平方√2 (或 −√2), 结果都是 2。

如果 g(x)=x2, 其定义域仅为非负数, 但其上域仍是所有实数R, 那么其值域还是非负数的集合。当平方一个非负数时, 结果仍然会包括所有的非负数。

如果 h(x) 是动物 x 的腿的数目, 那么其值域就是任何动物可能会有的腿的数目的集合。我可以想到有 0、2、4、6 和 8 条腿的动物, 以及一些有更多条腿的小动物。如果你还想到了个别的像失去一条或多条腿的动物, 那你也可以将 1、3、5 和 7 等其他可能的数加入其值域。不管怎样, 这个函数的值域并不是很清晰。要想了解真实的答案, 你或许得是一位生物学家。

最后, 如果 j(x) 是 Junkster 吃 x 时呕吐物的颜色, 那么其值域就会包含所有可能的呕吐物的颜色。我很怕去想它们会是什么样的, 但或许亮蓝色不在其中吧。

二、自我验证

函数是一类事物和另一类事物之间的关系。

y=log2​(x)，规定输入为2的自然数次数次幂，例如20，21，22，也就是1，2，4，8，16，32。输出就是自然数0，1，2，3，4。

GetColor(x) = x的颜色，我们规定定义域，也就是输入空间是水果，规定上域是所有的颜色。那么，GetColor(苹果) = 红色或者绿色。我们看到这里输出不唯一，所以这里不是我们这里说的函数。但是如果我们将不同颜色的苹果看作不同的水果，这里就是函数了，同时值域的取值不是所有颜色，因为有的颜色的水果可能没有。

n(x) = x代表的数字，这里我们规定定义域是所有的写有数字的图像，那么，他就是函数。这个是人工智能程序的hello world。

isDarkCloud(x) = 碰到x是否会升降，这里我们规定定义域是所有的暗霞，那么，它的输出要么升高，要么下降。用代码可以这样写bool isDarkCloud(DarkCloud x); 这样我们就确定了输出和输出，至于剩下的关系是什么，就是在函数体里头。

求导，输入是一个函数，例如，f(x)=sin(x)。我们可以称作输入函数空间，输出也是一个函数，对应输入g(x)=cos(x)，我们可以称作输出函数空间。同时它也是一种高阶函数。

梯度算子，输入是一个多对一的函数，例如y=f(x,y,z)，输出是多对向量的函数，例如F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j​+P(x,y,z)k。

傅里叶变换变换将时域函数变换成频域的函数，输入是时域的函数f(t)=1，输出是频域的函数F(ω)=2πδ(ω)。

值域是上域的子集，也就是上域的一部分。上域是为了定义函数时使用，通常定义函数的阶段并不知道函数的全部取值，所以会造成一部分的上域不会被使用。

比如定义一个函数，这个函数的功能是获取输入物体的温度，那么这个函数的定义域为所有的物体，上域是一个R。这个时候，实际的值域并不会取到所有的实数。

用上面的那个对数函数的例子，定义域为2的自然数次数次幂，上域我们取为所有的整数。这时候的值域，也就是实际输出的值就不能取到所有的整数。

国庆节是10月1日，这时候上域可以取所有的月份和日（x月y日）。然而实际上的取值只有10月1日