一维无限深方势阱

1 一维无限深方势阱定义

好，那我们今天来介绍一下我们量子学里面，我们所接触的第一个也是最简单的一个理想模型啊，一维无线身方式景。

啊，那么什么叫一维无线生方式景呢？首先它只有一个维度啊，只有一个X维度啊，这是个右问题。然后它是无限深的，什么意思啊？就是构造这样的一个市景，它在零到A这样的一个区域内，它的位士是零，然后呢在其他的地方都是无限高的啊。好，所以这就好像一个井一样对吧？然后这个井的深度是无穷大。

好，所以如果存在粒子的话，它是不是就只能在零到A的这样一些防围内运动，对吧？它不可能跑到势能无穷大的地方去啊，因为E等于动能加势能，你跑到势能无穷大的地方去了，那么你就需要具有一个无穷大的能量啊，那么这是不可能的对吧？好，我们的粒子都是具有有限的能量的。

2 量子力学中的方程

好，那么我们从哪里着手呢？

如果是在牛顿力学里面，我们要干嘛？我们要建立一个缩力分析对吧？去解这个牛二方程分析力学呢两种方法啊，两种体系对吧？你要么去列这个拉格劳人方程，你要么去列这个ha密顿方程对吧？

好，那么在量子力学里面我们应该列什么？列了个shoul方程对吧？好，所以我们可以看到我们的位士它是不含时间的，所以这是一个定态问题对吧？所以我们可以去列出这样的一个定态的shoulding reation对吧？那么它长这个样子。

#c 区异

好，那么我们可以看到我们的卫士在不同的区间里面是不一样的，对吧？所以我们的这样的一个定态shoulequation，它在不同的区域里面也是不一样的。

3 不同区域的解

好，那么首先我们来看一下，在无穷大的区间里面，那么我们是不需要去解这个方程的对吧？因为我们知道粒子不可能存在于这些空间里面，所以它的一个不函数就直接是零对吧？好，所以这是它的一部分解在这个区域内的解对吧？

#c 过渡

好，然后呢在零到A区间里面，我的位氏是零对吧，所以我把零带进去，那么我就会得到这样的一个方程。那么这个方程我可以把这个负H18方比上一个二缪，把它移到右边去啊，那么就得到一个斐的二阶导，等于1个常数乘以five对吧？

好，所以这是一个什么东西啊？这是一个二阶常系数线性微分方程，对吧？那么这个方程的解我们在高数里面就学过，它应该长什么样子。F它的二级导等于K F啊，那么F等于F X啊，那么它的解长什么样子？首先它有两个特解对吧？一个特解是E根号K X一个呢E负根号K X对吧？所以通解就是他们的特解的新型叠加对吧？所以它的通解应该长什么样子？F X等于A倍的E根号K X加上一个B倍的E负根号K X对吧？啊，那么这是告德数学告诉我的事情啊，

所以那么这里的话我们也是一样的啊，那么这一坨常数看起来太麻烦了，所以我直接令它为负的K方可以吧啊然后K等于这样一些东西，

于是这个方程就我们刚刚讲的它的一个通解长什么样子啊？应该等于根号负K方啊，E根号负K方，然后X加上一个E负的根号负K方X对吧？啊，然后把它们先性叠加起来，那么这个就是我的一个通解形式啊。

好，那么根号负K方等于什么？等于I倍的根号K方对吧？我可以把这个负一把它提前取一个平方根，把它提出去，那么负一的平方根就是I对吧？好，所以等于I K啊，那么这部分等于I K X这一部分呢不就是负的I K X嘛，对吧？好，所以它的通解长这个样子啊，那么这个就是我们的定态不函数的空间部分。

4 行波与驻波

好，那么大家看一下这个解长得像什么呀？我们看这它的特写哈，E I K X它像一个什么东西？如果我们把K当做是波使的话，哎，那么它是不是就是一个行波的空间部分，对吧？因为我们在力学里面的波动学里面学过，我们的一个行波它长什么样子？我们的行波它长的是斐等于E I K X减欧米伽T对吧？啊，好，所以实际上啊这个东西它就是一个向右运动的行波的空间部分，对吧？那么这个呢它就是向左运动的行波的空间部分，对不对啊？

那么这个K啊实际上它就是波时好好，所以这个通解实际上就是两个不同方向的行波，它的一个线性组合对吧？但是我考虑到一个问题，就是我现在我的考虑的运动范围它是有限的，是零到A上，它不可能跑到0的左边去，也不可能跑到A的右边去，

它是在一个有限的范围内运动，对吧？但是我们知道行波一般不会在一个有限的范围内运动，

它会一直跑到无穷远处去，对吧？那么什么波是被局限在一定的区域内的呀？助波。对吧好，

那么我们在力学的波动学里面学过助波一般用三角函数来描述，对吧？

所以我现在迫切的想把这个东西把它变成是一个三角函数的形式，我应该怎么办啊？那么这个实际上非常简单对吧？我们用only莱公式就可以了嘛。因为我们现在已经有一个一K X等于cos K X加I sk x嘛，这是欧拉公式嘛，对吧？

那么有了奥拉公式，我们可以把这个E的虚指数的形式把它变成是三角函数啊，那么这个很简单对吧？好，那么E负I K X呢，它就等于cosine K X减掉I sk x对吧？好，

然后把这个系数把它写上去啊，那么I K X的系数是A负I K X的系数是B对吧？A B括号括起来。好，然后把它们俩加起来，就是我的这个解的形式对吧？好，所以他们相加。首先我们看cosine x他们前面的修是A加B啊，那么有个A加b cos K X然后呢sine前面的系数是I A减I B对吧？所以是I A减I B好，那么我们观察一下这个形式的解它前面的系数A加B和I A减I B那么A B是什么东西啊？是任意的叠加系数或者叫组合系数对吧？所谓任意的就是它取什么值，我现在还没有确定，所以大家想一想哈，我现在两个没有确定的值加起来以后，是不是它是一个没有确定的值，对吧？两个任意常数加起来以后还是一个任意常数，两个任意常数乘以个I的相减呢，仍然是一个任意常数对吧？

好，所以A加B和I A减I B与这个A与B对我来言是不是等价二的？他们的地位是相同的啊，都不过是一个我没有确定的任意常数而已，对吧？好，所以啊我可以新建一个A加B等于C然后按A减I B等于D啊，C和D现在是一个未确定的任意常数，这可以吧？对吧？C和D的地位和A和B的地位就是相同的啊。好，

那么这样一来我们就可以令斐X等于C倍的cosine K X加D倍的sine K X啊，那么这个就是一个助波形式的解啊，那么这个我们称为助波解。

5 边界条件

好，那么现在啊有了这个解以后，我怎么去确定这个任意常数以及这个boss k啊？

#c 回顾

哎我们讲过我们在高等数学以及数理方法里面都讲过，对吧？像这样的微分方程我们解出来以后一定会有未知常数。那么这个未知常数我们怎么解？用边界条件啊或者初始条件去解对吧？好，那么这是高数和数理方法告诉我的事情，对吧？

#c 说明

所以我们现在的任务就是去解呃去找这个边界条件，然后呢去确定下来这个系数啊，

那么在数学上我是找不出来这个边界条件的对吧？因为好像没有任何事情去约束我的这样的一个波，但是呢在物理上我们可以去找一找啊。

#c 考虑

好，那么我们考虑到波函素它的一些物理要求。

首先波函数必须出出单值，这个很好理解，为什么呢？因为不函数的模平方等于概率密度，对吧？那么你在同一个点是不可能有两个概率密度的对吧？不然的话我现在问你，你在这个点去找概率子，它的概率概率密度是多少啊？你不能个可能是A也可能是B啊，这是不可能的。你一定有个确定的概率密度对吧？好，所以你高的密度是唯一的，那么你不含数就必须也是唯一的啊，当然这里我们没有考虑相因子啊，因为相因子本来就呃它整体的相应子本来就没有物理意，对吧？好，所以在同一点只能有一个不函数的值。

好，所以它的单值性就导致了连续性，为什么呢？因为如果我的不函数不连续的话啊，比如说它这里它断掉了，它有一个月变好。那么我考虑这个点处的波函数，它是不是就有两个取值啊，那么这就违背了单直径对吧？所以它必须是连续的。

好，然后第二件事情就是波函数的导数啊，一阶导数在非起点处是连续的啊，那么什么叫奇异点呢？就是奇点。奇点它就是有一个无穷大的值啊，就是该处的函数有一个无穷大的值，那么这个叫奇点啊，

为什么呢？大家想一想啊，因为我的订单方程告诉我这样的件事情。我的订单方程跟我讲，我的不函数的二阶导加上一个势能，然后呢等于E乘以这个不函数。好，那么首先我的不函数必须是有界的对吧？因为不函数如果它是无穷大的话，那么会导致一件什么事情？在该点处找到粒子的概率密度就是无穷大的啊，因为无穷大的摩平方还是无穷大嘛，对吧？所以你不可能在一个点处找到粒子的概率密度是无穷大，这是非物理的对吧？所以不函数需要是有界的啊，然后能量也必须是有界的。好，所以如果这个势能它也是有界的啊，也就是它不是无穷大的话，那么就会导致一件什么事情？就会导致我的不函数的二阶导它是有界的啊。那么二阶导有界是不是就意味着一阶岛连续？大家想一想啊，因为一阶导如果它不连续的话，就它就会有个跳变，那么在跳变处我的二阶导就是无穷大，对吧？好，所以如果我的二阶导它不是无穷大的话，那么我的一阶导就是连续的对吧？所以只要我的势能它是有界的，那么我拨函数的二阶导就是有界的。那么二阶导有界，一阶导就连续对吧？啊，那么这是在非起点的情况下，如果是奇异点呢？奇异点我们刚刚讲了对吧？该处的X 0啊，我是X零是七点，那么它就在该处的一个势能叫做无穷大，对吧？那么势能是无穷大，二阶导就必须是无穷大。那么二阶导无穷大的话，一阶导就可以不连续了啊，它就可以有个跳变对吧？好，所以这是波函数一级导啊它的一个性质。

好，然后第三个性质啊，波函数它必须是有界的啊，我们刚刚讲的啊，

#c 顺序

实际上这两个性质应该颠倒一下顺序，它应该在前面啊ya。

#c 步骤

好，所以我们拿这些边界条件来套入我们的这样的一个形式解。

6 边界条件应用

好，那么有不函数的连续性，那么首先它在这一处它要连续啊，在这一处也要连续，对吧？

好，然后呢不函数的异阶导数的连续性呢不需要考虑对吧？因为它在这个地方是一个起点啊，甚的是无松大啊，这个地方呢也是一个奇异点对吧？所以它的不函数的异阶导数不需要连续啊。好，那么我们就只根据不函数本身的连续性条件啊，那么five 0负等于five 0正啊，fine 0的2边它必须连续对吧？然后fine a负等于fine a正在A的两边它也必须连续。

好，所以第一条性质导致什么事情？导致这个带零啊带零进去，那么00它应该等于什么？等于0对吧？因为斐零负等于0，因为这是在负务相大达到0的区间里面啊，它本来就是零，对不对？好，所以我们看一下哈，cos 0等于1，所以C一加上一个D 3 ine 0，D 3 ine 0本身就是零啊，加零等于0，所以C 等于0对吧？

好，所以这是第一个变条件告诉我的事情。那么第二个边辑条件呢，是不是告诉我这个因为C 等于0了哈，这下没有了啊，D倍的sin K A等于什么？等于发A正，发A正，那么在A的右边拨号数也是0，对吧？等于0。好，所以D倍的sine K A 等于0。

现在两种情况，这个等于0是不是两种情况？首先D 等于0，然后呢sin K A 等于0，这两种情况都可以对吧？但是呢物理上我们只允许有一种情况，为什么？因为如果连D也等于0的话，我看一下我的解就长什么样子。C 等于0，D 等于0，那么整体上通通都是零啊，那么不函数等于0，饱受等零什么意思？没有粒子啊，那么这个波函数它是不可归一化的啊，因为它处处为零啊，所以这是一个trivi的一个解，我们就不能接受它啊，在物理上不能接受它啊，所以只能是什么sk a 等于0啊，

那么sin k 等于0是什么情况呢？我们来看一下哈，这是三音X的图像啊，它在什么情况下等于0？它在这个这是拍这是二拍、三拍、四拍啊，它在横坐标取N拍的时候等于0，对吧？所以K A等于N派啊，那么A是事件的宽度，它是个常数对吧？所以我们就得到K等于N派比A对不对？

好，于是这样一来我们就把K给定下来了。唉，然后我们刚刚讲的K是什么？K是波时，那么波时是个能量挂钩的啊，因为这是我们设的K 等于2缪欧E比H八方开根号对吧？那么反过来E就等于什么？E就等于呃H 8方K然后2米起平方啊，K方然后2谬对吧？好，所以K定下来了，那么能量就定下来了啊，

我们来看一下能量应等什么东西，那么能量就我们刚刚讲的它的什么H 8方K方比2缪对吧？我们把这个K带进去，那么就等于N方派方，H 8方比2缪UA方对不对？好，所以这样一来我们就把能量给确定了啊，

那么注意一下这个能量是怎样的，它是分立的对吧？N取不同的值，能量就取不同的值。然后呢N我们刚刚讲的它是这什么？这是拍的整数倍，所以N是个整数啊，N 等于1234一直到无穷大对吧？好，

#c 设问

那么我想问一下这里N为什么不能取零啊？照理来讲的话，N取零也是整数啊啊，那么还是一样的哈。

因为这里我的解释是什么？已经是D K X了对吧？方X等于这个东西了。如果你现在令K 等于0的话，那么它就得到一个sin ine 0等于0，恒等于0对吧？所以我的不函数又恒等于0了，它又是一个tri的解对吧？所以N不能等于0啊，

N从一开始取，所以我的能量首先它是分立的啊，因为N是分离的对吧？然后其次它的最小值不是0。那么它的最小值不能为零，也体现了不确定性原理，对吧？因为我们之前讲的，我们不能同时去确定一个粒子的位置和它的动量。一旦这个粒子它的能量为零了，是不是就意味着它静止不动了？那么静止不动以后，我就知道它的位置的具体位置停在哪里，对吧？然后呢它静止不动，那么它的动量也是零啊，那么我就同时确定它的位置和动量啊，那么这是做不到的对吧？

好好，那么我们定义这个系统它所具有的最小的能量为基碳能量啊，然后呢往上依次是第一阶发碳，第二个阶发碳啊，所以基碳对应的N等于几啊？N 等于1啊，N 等于1是基碳，然后呢第一阶发碳呢就是N 等于2嘛，因为N 等于2除了一以外最小的了嘛，对吧？然后呢第二阶帕碳呢，第二阶帕碳N 等于3。

7 波函数的归一化

好，那么讲完了这个能量，我们再来讲一下这个波荷数啊。那么波荷数也是一样的，因为我们刚刚已经解出来了，它的波函数等于什么？D倍的sin K X对吧？

好，现在呢K我们已经定下来了，K等于什么？等于N派比A所以我们把K等于N派比A把它带进去啊，那么这个就是一个不函数啊，这就是定态不函数的空间部分。

#c 常数

好，所以现在还有一个常数D没有确定这个怎么办啊，那么这个非常简单，D实践上就是一个归一化常数而已，对吧？归一化常数啊，

那么我们尝试把这个东西进行一个规划，那么这个非常简单，我们来做一下哈规划。就是它的全国间段的积分应该等于1对吧？然后我们现在知道它仅在零到A上有函数值，对吧？因为在负收大到0以及零到正无相大呃以及A到正无相大上都是零，对不对？好，所以其他地方我们不需要考虑啊，只有在这个有限的区间里面进行积分就可以了。

好，那么这个积分我们首先把D把它提前取一个模型方，把它拿出去啊，然后里面变成了一个三角函数的模平方。那么三角函数是实函数，所以模平方就等于平方，对不对？好，那么这个怎么记呢？我们把它进行一个降幂公式啊，等于D的木平方零到A那么焦密公式变成什么？变成一个2分之1倍的这个一减cos 2M派X比A D X对吧？

好，那么这个2分之1它在零到A上的一个定积分，这个非常简单，就等于什么？就等于2分之A对吧？所以等于D的模平方二分之A减掉一个零到A上的一个cos 2M派X比A D X那么这个积分一看就是零，为什么？因为它的周期是多少呀？我们算一下哈，三角恒升周期非常简单对吧？我们拿2拍去除上前面的原频率就可以了，原频率是多少？原频率就是X前面的系数嘛，2N拍比A这是它的原频率对吧？那么这样一除以后，把这个分母的分母放放到上面去啊，然后二拍二拍销量对吧？得到一个A比N这才是周期，对不对？

好，所以现在我的积分区间是多少？是零到A所以这个积分区间是它的周期的整数倍啊，那么三角函数在周期的整数倍上的积分是零啊，这是一个很常用的一个结论。因为你把它积分积上去以后，就是一个原函数在整数倍的周期上面的一个差值，对吧？那么原函数隔了它自己的整数倍周期还是一样的，所以边界项一解就没有了，消失了啊，所以这项就没有了。

啊，得到一个这个东西等于1对吧？好，所以D的模平方等于A分之2，那么D应该等于根号A分之2，再乘以一个任意的相因子对吧？但是不函数整体的相因子它没有意义，所以我可以令它为一啊，你当然也可以不令它为一，你另一些奇怪的相相位都可以啊。但是这里为了方便其见的话，我们取D等于根号下A分之2啊好。

于是我就得到我的拨函数啊，它的空间部分应该等于根号下A分之2 sine m派X比A好，注意这个是空间部分。那么完整的不函数应该长什么样子？应该把它的时间部分把它乘上去啊，这它的时间因子。好，那么这里的E N是这里的一N啊，对吧？因为这个一N我们是算过的。好，所以这样一来的话，我们就把一为无限制方式，锦里面的定态波函数把它求出来了啊。

8 一维无限深方势阱的性质

好，然后我们来讲一下一维无限制方程锦它的一些性质。

那么首先能量的本质函数是分立的对吧？因为N是分立的啊，所以它会有P3132普三三啊，一直到普三无穷大啊。

好，然后呢它们是正交过一的，因为这个非常简单，为什么呀？因为它们是什么？它们是哈姆的量的本质函数，哈姆的量是一个厄命三弗，那么厄命3弗的本真函数是具有正交归一性的对吧？好，那么他们的证间微信由这个来描述啊，那么他们之间撞起来做个内积应该得到一个chronic的函数，因为它们是分立的嘛，对吧？

好，然后第二点，能量的本能函数是完备的啊，那么这个也是因为它是哈的量的一个本能函数啊，那么二名三符的本能函数是完备的啊，所以零到A上的任意函数都可以用G展开啊。那么这个比如说如果普是一个任意的函数的话，我们就可以插入一组能量的一个还能算符，用它的本质函数去构成一个恒等向符，然后呢去展开这个塞对吧？

好，那么这里内积是个数啊，那么这个东西实际上就是展开系数C N对吧？好，所以我们我们可以把它写成这个样子啊，那么这个是ta矢量的形式，如果你想把它写成不函数的形式怎么办啊？使它进入具体的表象啊，那么我们就两边组成一个X左使嘛，对吧？那么这样一来的话，我们就会得到不函数的关系啊。3T等于0等于西ma n cn然后这是斐N X啊，对吧？因为这个就是它嘛这个就是它嘛，对吧？因为我们讲过不函数，它不过是态矢量在具体表下的一个展开系数啊，这个不要忘记。

好，然后第三个性质就是它的量，它的一个本能态所构成的这样的一个hu的空间，它的维数是无穷大对吧？因为我们刚刚讲的这个N它可以从一去到无穷大啊，所以这个hub的空间的维数就是无穷大啊。

然后第四件事情，本真函数它关于市井的中心是不是奇偶交替的呀，那么这个什么意思呢？我可以看一下哈，我们不是解出来了我的能量的本质函数或者叫定态不函数，它的空间部分长什么样子。首先是一个规划系数啊，这个我们不管sign n派X比A对吧？好，我们来看一下哈，如果我们把这个电代波函数，把它画在我们的零到A的区线里面，那么应该是怎样的啊？斐N X等于sin啊，根号根号下A分之2啊，sin n派X B A好，那么当N取一的时候，它就是sin派X比A那么这个函数的周期是多少？是2A对吧？所以它应该换成这个样子对不对？好，所以它关于市景的中心二分之A处啊，那么这里是没有的哈，就就这里有啊，是不是一个偶函数啊，对吧？好，那么这是N等于等于1的时候，那么N 等于2的时候呢，它的周期变成多少了？It a了对吧？所以这个时候他怎么画？这样画对吧？所以它高于二分之A是不是一个奇函数了，对吧？好，那么当N 等于3的时候，它的周期变成多少了？变成3分之2A了对吧？所以那么它的函数就已经长函数线就已经长这个样子。对不对？好，所以它关于函式井的中心是不是个偶函数啊，对吧？所以这个叫奇偶交替啊。

好，那后我们再来看一下后面的性质啊。那么奇态无节点，节点就是波函数的零点啊，因为我们可以看到基态长什么样子啊，这是零，这是A啊，其他不函数长这个样子。那么在零到A这样的一个开区键里面是没有零点的啊，它只有在端点上才有零点，对不对？好，那么当这个N 等于2的时候呢，我们讲过它的图像长成这个样子，对吧？所以它的零到A上有一个节点啊，然后第二阶不看N 等于3的时候呢，它的函数图像长这个样子啊，那么有两个节点啊，那么这个叫波函数的节点定理啊，基蛋是没有节点的，第一阶拍态有一个节点，第二接拍态有两个节点，那么第几阶拍态就有几个节点啊。那么这里注意第几接帕态和N等于几，这个是不一样的哈啊第一节帕态N 等于2哈，这个切记好，

然后一为无限生方式井，它是没有减并的，什么意思呢？每一个能量都只对应一个不函数，对吧？这个我们可以很轻松的看出来，因为每一个N都只对应了一个E N然后呢每一个N也只对应了一个phn对吧？所以E N和phn他们就是一一对应的。啊，好，那么我们后面实际上会证明所有的一为束缚态问题，它都没有减并。啊，那么什么叫束缚态呢？意思就是粒子被限制在一定的区域内运动啊，而不能跑到无穷远处去了。这样一种状态叫做束缚态啊，那么这个因为无限时放射镜它很显然是一个典型的束缚台，对吧？因为它只能在零到A上运动，不能跑到无穷远。

好，然后我们再来看一下这个第七和第八个性质啊，那么这两个性质实际上讲的是一类的事情啊。好，我们首先看一下这个能量它的形式长什么样子啊，那么这个比较简单啊，E N等于M方派I方H 8方比上一个2 ma方对吧？

好，然后呢我随着质量和市井宽度A它的一个增大，那么我的整体的能级是不是每一个都要减小，对吧？好，那么我相邻的能级差是不是就越来越小啊，对不对啊？所以当我的质量和事情宽度非常大的时候，那么我每一个相邻能级之间的能级差就趋近为零了，对吧？那么这个时候我是不是就趋向于连续分布了，对吧？因为它本来之间每一个能级之间有能级差嘛，现在我的能级差趋向于零了，相当于我每一个能级都挨到一起去了嘛，对吧？所以那么这个时候就会趋向于是一个连续分布。那么连续分布就对应着经典情况啊，那么这个跟我们之前讲的波尔的对应原理就连接到一块去了啊，世界线收数了当我研究的对象它越趋向于宏观的时候，那么我所研究的系统，它所遵循的规律就应该越趋向于经典力学，对吧？

好，然后第八个性质啊，我们考虑一下我们的能级间隔，它随着N的变化啊，那么当好，那我们再来看一下这个第八个性质啊，我们去考虑一下这个能级的相对间隔。什么叫相对间隔？就是相邻的能级差啊，它与该能级的一个比值，这个叫相对间隔啊，它随着N的一个变化啊。好，那么delta E N等于什么东西呢？等于1N加一减了一个一N啊，这是相邻的能级间隔对吧？好，所以1N加一等于什么？这里N取N加一啊，N加一的平方，然后一N呢这就是取N的平方啊，所以他们一减就是实际上就是分子上面的N加一的平方跟N的平方相减对吧？好，所以N加一的平方减了一个N的平方，应该等于2N加一对吧？好，那么这个一相对于这个N来讲的话，当N非常大的时候已经是一个无穷小量了。所以这个一我们就不考虑了啊，我们就只看这个2M好，那么这个2N跟那个分母上面的N的平方一比以后，剩下来一个什么？剩下来一个N分之2啊，然后其他东西都是一样的。拍的平方H 8平方比上一个2MA的平方，比上一个2MA的平方对吧？所以这个东西在N很大的时候，它就应该趋向于一个N分之2，对吧？那么当N趋向于无穷大的时候呢，那么这个东西就趋向于零了，对吧？好，那么相邻的能级它的一个相对间隔趋向于零意味着什么呀？是不是就意味着它们之间已经趋向于一个连续分布了，它们挨到一起去了对吧？它们的间隔相当于它们的绝对值而言，已经是一个无穷小量了，对不对？好，所以那么当N趋势线无从大的时候，能量也是趋向于连续变化的啊，那么这个也是遵循了波尔的对应原理。

9 三维无限深方势阱

好，那么一维无线程方程景我们到这里就讲完了，我们再来讲一下这个三维的无线程方程景啊。那么这个这跟一维的实际上是类似的哈。

好，就是说把粒子束缚在X在零到A Y在零到B Z在零到C的这样的一个立方盒子里面啊，盒子外面的势能都是无穷大，那么这个叫三维无限制放射啊。好，那么这样一来的话，我们要去列三文情况下的一个shoreation，我们就要给出三维情况下的一个动量算符啊，那么这个比较简单啊，因为我们知道一维情况下的动量算符长什么样子。P X等于负IH18 partial partial x py 等于-2H 8PaaS PaaS y pz 等于-2H 8 plus plus z对吧？好，那么总的动量应该等于什么？总断这应该是个矢量了哈，因为它现在是三维的情况了，对吧？好，所以那么它应该等于px乘以X方向的单位矢量，加上一个py乘以Y方向的单位矢量，加上一个pz乘以Z方向的单位矢量对吧？好，那么它就等于什么？等于负IH1半，E X partial partial x加E Y partial partial y加上一个E Z partial partial z对吧？那么这是什么？这就是一个梯度三符对吧？好，所以它就等于负IHA8拿不拉对吧？好，那么这个就是三维情况下的动量相符啊，那么我们把它带进我们的哈密顿相符里面。哈密顿3伏等于。P的平方比上一个二缪加上一个V啊，那么现在是三维的情况就是V X Y Z啊，这个位士要受三个坐标的制约对吧？好，那么P的平方等于什么呀？P的平方它就是负IH18拉布拉的平方，对吧？那么它等于什么？负H 8方，然后拉布拉的平方就是拉布拉斯，对不对啊？所以它就是负H18方，然一个拉84。好，所以这样的话就是三维情况下的一个定态shoreation啊，

那么这个方程我们要解的话，是不是还是要借助分离变量对吧？因为它有三个独立的变量，因为X Y Z它们是彼此独立的，对不对？好，所以我令fine X Y Z等于X X Y Z好，那么我就可以把原来的方程写成这个样子对吧？好，那么这个PaaS，so PaaS x方是对X一个人做的，那么只有它含有X所以只有它被做了二阶导啊，那么这里我们把它写成这样的一个形式啊，那么这个是二阶导啊。好，然后呢留下这个fy和fz不动对不对？好，然后再看这一项啊。那么这一项首先它的前面的系数是负H 8方比2m啊,然后呢它只对five y做了二阶导啊，其他两个不动对吧？好，然后再去减掉一个H 8方比2 mu对find z进行二阶导，其他两个不动啊。那么这时我放程的左边啊，然后放程的右边我们不变它。好，然后我们进行一个分离变量，我们两边同时去除以一个five x five y five z啊，那么我左边是不是就变成这个样子了，这个five y和five z被除掉了啊，然后这里是five x的2阶导比上一个X啊，那么这个也也是一样的，它被除掉了，Y的二阶导比上一个Y这里也是一样的，fine X Y被除掉了啊，fine z的2阶导比上一个Z啊。那么右边呢整体这些都被除掉了啊，等于1个E好，所以那么这三个方程是不是可以独立的把它写出来，对不对啊？我可以令它等于1个E 1，它等于1个E 2，它等于1个E 3，对吧？因为三个方向是彼此独立的嘛，所以他们可以列出三个独立的方程出来啊。但是有个限制，什么限制呢？就是我的这个E 1、E 2、E 3，他们三个加起来必须等于E必须等于我方程的右边，对吧？

好，所以我就这样令，哎，那么我会发现这个它不过就是什么呀？不过又回到了我们的一维无线程方射精里面的一个首领equation对吧？啊，所以三个方向是分别满足一维无限制方程进的方程的啊，所以他们的解也应该是一样的啊。好，所以我就可以直接给出我的X方向它的一个定态不和收长的样子，能量长这样子啊，Y方向也是一样的，Z方向也是一样的，对吧？好，那么总的能量我们刚刚讲的应该等于3个方向的能量相加，那么总的包函数呢我们之间是怎么设的？我们设的是总的包函数等于3个方向的包函数的一个简单值积，对吧？好，所以这样一来的话，我们就解出了三个方向，