学科模块

理解型学习应用

应用理解性学习

批判性思维，然后看到学科大图景，从第三层和第四层的知识的角度，来帮助你决定教和学什么以及怎么教和学，这样一套东西，把它用在几个具体的例子上。

然后完了之后，我希望大家照着我讲的例子大概来决定说，我选一个学科或者主题，我来决定在这里面，最重要的东西是什么，哪些东西最值得教和学或者思考，那么怎么去教和学和思考。然后你把整个东西给我们演示一下，抽其中一个大概十几二十分钟的例子，来演示一下怎么做。

例子挑选建议

当然如果你是觉得学科离你特别远的话，你也可以去整理一个你工作当中用到的，就是一定要层次比较高的，比较大的一个问题，再做成一个小小的例子。

你跟前面第一阶段的训练的目的不一样，第一阶段是通过你随便选一个小小的例子，只要能够稍微体现到系联性思考、批判性思维以及上层知识的角度就行。在这里你要因为要从上到下，我们前面是以小见大，这里是从高的地方到具体的。

所以希望你挑的那个对象最好是学科，如果不是学科，是自己工作当中面对的一个比较具有系统性，比较需要体现这种上层思维的这样一个东西去做总结和梳理。

那实际上关于后面的这个工作当中的例子也是有的。比如说我们之前就有一个学员做了一个他自己的工作和整个公司的整个企业的定位之间的联系，然后他的自己的工作是如何为整个企业服务的，那这个其实也是可以干的。

看你们的情况，那当然在这里可能选学科会更加合适一些，因为你可以保证这里头有一些，当然也不是所有的学科都有，就有一些值得思考的上层的东西在。所以我推荐你下一个例子选学科，但是就算你选工作也是可以的，可是你就要按照我刚才的要求挑那些背后可以看到更大的东西，有更大的东西的那些工作内容去梳理，而不是随便选一个小小的例子。

大纲

好，那我们今天就来讲这些例子。今天的例子就是包括数学、语文和科学，我这里的例子都会比我要讲的东西，就是讲稿里的例子比我要讲的东西要多很多，所以我会跳过很多的例子。

然后我们先来看数学，我会把重点放到科学上，那数学和语文都会讲整体要学的是什么，然后讲一两个例子。

学科学习步骤

好，那比如说我们当我们来考虑数学任何一个阶段的数学，小学也好，中学也好，大学也好以及专门的研究生甚至这个更专门的学科分支的学习也好。

学什么怎么学

提出问题

那我们就要去问说那我们要学哪些知识，我们这个为什么要学这些知识，然后这些知识怎么学？

解决思路

那么从这个角度我们就先得回答说我们当我们学习任何一个东西的时候，我们一旦认识这个东西是什么，那这个事情就好办了。一般来说，当我们明白一个东西是什么的时候，我们自然就会想到说这个东西是有什么作用，将来可以用在什么地方，就是它本身的发展应该大概去怎么做。

那么所谓是什么这个问题，又怎么去解决它呢？通常我们是什么的问题呢，当然内在的解决方法是你去考虑这个东西的内部，但是还有一个外在的解决方法，一个东西是什么，永远可以通过这两个角度去考虑。那所谓外在的解决方法是什么呢，就是你去看这个东西是怎么为其他的东西服务的。那如果你把这个东西放到其他的东西的联系当中去，你也就明白了这个东西是什么。

学科大图景

所以关于这个东西是什么，我们就把它总结成一个学科的学科大图景，也就是说最重要的东西是这个学科的核心责任，或者说主要学科责任，它跟这个世界以及其他学科来说，它主要是干什么的，它主要是为这个世界解决什么问题的。

那么一旦你明白了这个，你就可以倒过来再往内部走，说你为了让它满足这么一个功能需求，你需要让它内部怎么样，于是你自然就会走到说学科大图里的其他的几个方面。比如说合起来就是典型的研究对象、典型的研究问题、典型的思维方式、典型的分析方法。然后这一堆东西，它其实是为了它的学科典型责任而服务的。

那倒过来，前面那几样东西其实也是相互之间有关系的。比如说典型的学科研究对象和研究问题，你为了研究它，你自然需要有分析方法。而这个分析方法通常是由这个学科的思维方式的指引下而生成的，针对具体问题发展出来的分析方法。然后将来这个具体问题解决之后，再被你抽象出来，可以推广到一类问题里头去的，这就叫典型的分析方法。

好。所以任何一个学科，我们永远从这样几个角度来问问题。而且刚才我把最重要的东西重复一遍，最根本的东西其实是要看到最后那个学科典型责任，然后倒过来再去看，为了满足这个责任，我需要有哪些内部元素，这些内部元素之间我需要有什么样的方法去操作，这些方法是什么样的思想下去指导的。

编程类比

然后顺便如果你是学过面向对象的编程的，你就发现你这样的看问题的角度正好就是把一个东西看成一个对象，你怎么去描述它？比如说在面向对象的编程里头，我们通常怎么定义一个对象呢？我们说这个对象的具体的性质我们暂时可以忽略。但是对于外界使用这个对象的人来说，最重要的是东西是这个对象提供的接口，也就是说这个对象它发挥的功能是什么，它如何和其他的对象之间进行交互作用。

那么如果你是个编程实现这个对象的人，你要关注的问题就不一样了，那就是我做什么样的内部的系统，使得它满足这个接口所规定的这一堆功能。于是你就发现我需要解决这个对象的内部元素，然后我要解决这内部元素之间的关系，我要解决外部如何来控制或者获得我这个内部元素之间的值。那你发现所有的这堆东西不过就是把一个学科看作一个对象。

数学

数学学什么

数学是思维的语言

数学是什么

好，那我们把这个学科大图景的东西重新介绍了一遍。那我们再来看，那回到数学这个事情，那学科大图景到底是个什么东西？就是说它真的是如何来为这个世界和其他学科服务的，然后为了满足这个服务的要求，我们应该里头有什么，有什么样的典型思维方式，典型分析方法，典型研究对象和典型研究问题。

好，那为了解决这个问题，我们回到一个数学这个学科，它的学科的典型责任是什么？

就是它其实是给你的大脑，当然它也给你大脑的本身的成长提供素材，但是我们先忘了它，就是它本来是个大脑的思维体操，这个作用我们暂时忽略不计，我们把这个作用忽略不计的情况下，它的作用其实是给你大脑去做思考，提供一些语言。然后这个思考有一部分是纯粹的做这种自反性的，对于这个你的认知结构本身的思考，另外一部分是去描述世界时候的所需要的思考。

所以数学是个什么东西呢？数学其实不过就是一个思维的语言。这个思维的语言有的时候是针对纯粹的思维的问题的，有的时候是针对描述世界的问题的，所以它俩本来其实是一回事，都是因为它是思维的语言导致的。可是为了表示它俩之间的略有的区别，我们把它分成两句话，叫做数学是思维的语言，数学是描述世界的语言。

数学的特征

那这样一个语言，我们既然需要这么一套语言，这样一套语言，为了满足可以描述思维、可以描述世界、可以表达思维，它需要具有什么特征呢？我们如何让它具有这些特征呢？这就是我们所需要思考的一个学科里的典型思维方式、典型分析方法这个层次上的问题，以及典型研究对象和研究问题层次上的问题。

明确的

然后你就发现，如果你是一门思维的语言，那么通常来说或者说我们追求它，当然数学基本上也具有这个特征，它是明确的，也就是说它是用一套符号体系来描述的，它不是一套自然语言的。于是基本上来说一个符号是没有歧义的，在它当时的上下文里头。

严密的

好，然后它是严密的。而这个严密性又是由什么东西来承担的呢？它基本上是由一个叫做演绎逻辑的东西来承担的，它使得数学的语言是严密的。

当然将来，未来的未来，或者说其实在数学发展的很晚期的有一段时间，其实大家已经开始思考那是不是有另外一套严密的逻辑，但是它又不是演绎逻辑的东西呢？那这套东西它其实就是相当于把逻辑本身当成一个数学的研究对象去考虑，这样的一套形式化的体系是否可以存在着另外一套就是同样有理由的形式化的体系。那这个东西属于数学基础，或者说逻辑学或者数学里头的逻辑学，或者叫数理逻辑所研究的。

但是在我们下面所要讲的这一系列东西里头，我们把演绎逻辑这一条暂时当做在数学里头所谓严密性唯一的途径。

但当然其实就像我说的它实际上不是的，你还可以存在着不叫等效，也不叫等价，叫做同等地位的，但是内容不同的是，就好像欧式几何也有同等地位的，非欧几何基于不同的假设，它会存在另外一套几何。但是我们把这件事情忽略。

可计算

然后它还是可计算的，并且这个计算往往它能够代替你上面所做的，也不叫代替，就一定程度上起到你上面所做的严密的思考、明确的思考的作用。也就是说你的这套这个计算实际上一定程度上可以看作你在做推理、做思考的过程。

基本结构

数学结构

好。那么数学就这么就是这么一套语言，它是一套明确的严密的可计算的语言，然后它是用来描述这个世界和表达你的思维的语言。那么这样一套语言要成为语言，它是要具有什么呢？它要具有数学的结构。

那什么是数学的结构呢？就说一堆东西放在一起，它们之间一旦满足你所要求的，它比如说这堆东西我管它叫ABC那么A和B间是这么个关系，B和C间是那么关系，C和B间是那么个关系。我就管这个东西既满足这样的关系的东西叫一个数学结构，并且给它一个名称。

比如说我满足下列性质的东西叫一个群，比如说就是加法具有结合率、加法具有逆元零元等等，这个这样的东西叫一个群，或者说当我没有逆元的时候，我管它叫半群，那这个就是要做一个数学的结构。

也就是说他有一些对象或者说有一些叫元素，这些元素之间具有一个特定的关系，通常我们也管这样的特定的关系叫做模式。也就是说满足了某个事先约定好的模式的一堆元素之间的关系。叫集合，叫总和，不应该叫集合，的总和，这样的东西，我们就管它叫一个数学结构。

比如说集合是一个最没有内涵的结构。比如说集合指的就是这里头有一堆东西，这堆东西只要是明确的属于和不属于这个集合，就可以。我们不管他们这堆东西有没有顺序，他们之间还有没有其他的关系，一概我们都不管都忽略好。所以说从集合跑到它们之间，具有一个叫做加法的关系，这个加法并且具有123的这几条性质，那它就会叫做群以及叫做更高级的结构。

那么这个时候这就是我们说的为了使得数学成为一门语言，它所要拥有的基本单位，基本的单位就是体现某种模式的数学结构。所以在这个意义上，有的时候大家就说数学是研究结构的学科，数学是研究模式的学科，都是一个意思。

数据结构的作用

好，那么这就是为了使得它成为语言我们需要具有的东西。那为什么有了这个东西就可以成为一个语言？因为将来有一天我们会发现，我们要么思考的自己的思维当中内在反思的问题也好，要么是现实世界的问题也好，我们会发现说我们考虑的这个对象它们之间正好具有某种关系。而这种关系如果正好就是前面我们已经研究过的某种已经给了它名称的数学结构，这时候我们就可以用这样的数学结构来描述我们面对的对象。

而一旦用上这样的数学结构之后，前面我们关于这个结构本身已经认知到的所有的这个知识。比如说关于这个结构，我们有个定理，例如说如果是个直角三角形，我们就有个勾股定理。于是当我们发现现实当中我们描述的对象可以一定程度上看作一个直角三角形的时候。我们说其实你看这里头肯定有一个类似勾股定理的东西。

好，那么这样的东西我们就可以使得我们那些纯粹关于数学的脱离开具体对象的研究，变成用来描述我们具体对象的一门语言。这就是数学是思维的语言，是描述世界的语言，这个典型的学科的责任告诉我们的，它里头应该是个什么东西，它应该具有什么样的特征？

数学知识的系统性

那当然在数学里头，它有一些非常有意思的和属于人类智力创造的非常高的境界的一些它自身学科的特点，比如说数学知识是有系统性的，

几何举例

如果你知道平面几何欧式几何，或者说看过一点点几何原本，你就知道它是什么样的一本书，这是人类文明上非常辉煌的一个成就。就是几何原本出来之前，其实关于这个世界应该有哪一些的几何知识，这些具体的知识是已经有一些积累的。但是如果我们整个人类将来未来运用，以及学习以及创造知识完全基于这样一条一条的知识，那么我们人类是很难往前走的。

那么几何原本它实际上干了一件什么事情呢？它告诉你说，其实从这里你可以梳理出来一个体系，这个体系就是我把原来两三百条大家每个人都知道它成立的定理、一些规律，我把它总结出一个有关系的体系。也就是说这两三百条东西，它们分别由可以四五十条东西推理出来。而这四五十条东西，它们分别又可以由四五条东西推理出来。

而这四五条东西构建的以他们为基础构建的整个知识体系，这样就导致我以后学习使用和创造知识特别简单。比如说学习的时候，我就可以从这四五条开始倒过来，让你走通这个从四五条到四五十条再到两三百条的这个过程，于是你就掌握了这个整体两三百条的体系，而又不用去把那两三百条每一条都记住，因为任何一条你可以在任何一个时候用你的自身的逻辑体系把它复现出来。

如何创新

然后如果你是为了创造知识，同样的，你将来可以去违反，将来可以去尝试破坏那四五条，你别破坏那两三百条了，因为破坏那两三百条没有意义，只要那四五条存在，那两三百条就会成立。所以你真正的知识的创新，你该围绕的东西是那四五条东西本身。那实际上人类数学知识的发展过程当中非欧几何的提出，也正是对那四五条提出的质疑。

当然你还可以有另外一个层次上的一个更加辉煌的创造。你说我就不满足这四五条的体系，我要提出另外一套等价的，但是可能要么是逻辑上更加自然和更加简便地能够推出后面所有结果的体系，要么就是一个等价的、但是看起来和我目前的完全不同的体系，这样我从另外一个角度来重新地认识了现在的几何学。

那么这种创造，实际上在人类数学知识的发展的历史上也是有很多这样的例子的。比如说希尔伯特，他就企图去把整个数学知识重新做一番系统化。平面几何知识做一个系统化，然后确实这个系统化的成果启发了后来大量的人，然后再后来大家会发现说其实我不从这个平行公理出发，而从这个勾股定理，或者说在数学的知识里后来被称为渡龟的性质出发来定义几何，也能更好地把整个几何知识的系统性看清楚。

所以你看你可以在基本假设或者说一开始的基本功力的情况下，你突破他们来创造新知识，你可以去重新梳理整个知识系统，去创造新的知识、或者新的理解这个知识的角度，从而你更好地去运用这个知识。

重要性

好，所以数学知识的系统性也是整个数学里头非常重要的应该看到的方面。那它为什么重要呢？

第一是因为确实这么干了以后，你学习创造和使用知识更有好处。

第二是它其实是后来整个人类知识的基本的构建的途径。

也就是说，比如说物理学的知识，我们可以测量出来每个东西的密度是多少，哪个东西的什么下落，每个时刻的速度是多少。我们可以有一堆事实性的知识，程序性的知识。比如说化学里头，你怎么加某个东西，它就变成什么颜色了，一堆是程序性的知识，你都可以成为你的知识。

可是如果你的知识仅仅停留在这样一条一条的层次，没有人能够（只学会怎么能够）学会他们，能够使用他们，能够创造出新的东西来。

科学的学习

于是现代科学怎么办呢？说我们跟数学去学习，我们去看看这一堆知识之间它们内在的联系是什么，我们能不能把它们梳理成一个有极少数的基本的假设就可以导出来的整个的一个概念和数学模型的体系。那我们把这个东西用上，这就成了现代的科学。

那当然，我们顺便还要用数学的另外的一个角度，就是它是用来描述世界的语言。所以一旦我们把科学的这个世界变成相应的概念之后，这个概念通常会对应着一个数学表达式，或者对应着一个数学结构。

比如我们说关于每个时刻的物体质点的这个位置，我们可以用一个包含xyz三个坐标的矢量来描述。那这个东西就告诉你说位置它的数学模型，或者位置它的数学结构是一个三维矢量。那如果我们把它放到一个位置和时间构成的时空，你会发现它其实是有x y z t所构成的一个四维的矢量。当然我细节我就不说了，这个时候的四维的矢量，它和那个三维的矢量之间会有一个小小的差别，那个小小的差别就是牵涉了我刚才说的勾股定理。那么通常的勾股定理是Z就是L等于X平方加Y平方或者说L等于平方等于X平方加Y平方加C平方。但是在一个四维的时空里头后来的物理学家的研究告诉你，说它应该是L等于X平方加Y平方加Z平方减T平方。或者我应该倒过来说它等于T平方减去X平方减Y平方减Z平方。

那这个具体的知识不是我们今天的重点，我只是要告诉你说所谓的现代科学，它其实不过就是运用了数学这两点来面对现实的世界。哪两点呢？数学知识的系统性，从而它进一步变成现代科学概念之间的系统性、科学论断或者命题或者说方程之间的这个系统性，然后再加上每一个概念或者每一个论断背后对应着一个数学结构或者一个数学操作。那就是这么个东西。

好，那当然还有后面的所谓的数学的它的典型思维方式当中，有一个东西叫做数学建模五步，还有一个东西叫做数学解题四问，我就不在这里展开了。

那我大概告诉你了，如果我们要学数学，该学到的是什么？我们该学到的东西就是，数学，由于它要满足这样一个学科责任，这个学科责任它是表达我们的思维以及描述这个世界的语言。那么它就要要求这个语言具有下列的特征，以及这个语言的基本结构应该是某个数学结构，基本单位是某个数学结构，然后由于数学本身的发展带来的一个系统性的特点，那么它是人类智力的非凡的创造。那么这个东西就使得我们整个后来的人类知识都按照这样一套体系往前走，并且在数学这个学科上，它也有一些他自身的思维方式和分析方法，那这些东西是我们将来在教别人数学的时候要让别人体会到的。而体会到的方式，按照我们之前教过的理解型学习是什么呢？是上下左右贯通，也就是说我们需要知道它具体数学知识的过程当中，让他体会到上面的这几条。

数学怎么学

数学是思维的语言是描述世界的语言，数学知识是有系统性的。数学具有一些典型的分析问题的方式和思维方式，那我们下面就来看体现一点点这里头的一些（什么）数学的典型思维方式也好，数学是思维的语言、描述世界的语言也好，数学就是关于结构或者模式的、学科也好这样的东西。好，那下面我们来看看例子，顺便在这里停一下，大家有什么问题吗？

好，那我们继续。顺便回到一开始上次课所说的说那这些是不是最后一个馒头？是的，这确实是最后一个馒头。但是最后一个馒头，它是连着前面的馒头一起吃的馒头。所以它不是说就是说先得把所有的前面的知识学好，才能学到这些东西，不是，它本身就是整个数学学习的目标。我们之所以要吃前面的馒头，是因为我为了理解到这个所谓的最后的馒头，我不得不把前面的那些具体数学知识的这个案例梳理出来，然后来吃前面的馒头。

所以不是因为基础知识就必须学有个东西叫做基础知识，这世上永远没有，只有倒过来，我为了让大家上下贯通地体会好这些高层的数学知识，不得不用的那些例子，不得不用的那些概念，概念之间关系，还有具体的问题的例子，才是前面的馒头，才是基础知识。

好。那怎么学？我也告诉大家了，那就是我把前面的案例提炼出来，提炼出来以后，把它呈现成一个问题的提出或解决的过程。然后由于前人已经解决了，你的解决会简单很多，但是你可以假装着去把这个解决的过程去创造一遍。也就是说，你随时做的事情是去做中学，用中学，随时注意从具体的问题的提出和解决当中体会到学科的概念，体会到学科的思维，体会到这个更一般的这个第四层，超越具体学科的一般性的人类思维。

好，也就是说你要用上下贯通的角度，所以我们把它总结一下，就是数学要学什么和怎么学，就是用数学的眼光看世界，用数学的眼光看世界的过程当中来学会数学。

例子

数数例子

这个留给大家自己去看，我就不解释了，这个推荐材料也大家去看。

然后我们给大家举个例子，我看看我今天用哪个例子。

好，比如说我们先用一下这个数数的例子，那数数的例子，你可能会觉得说这个东西有什么好讲的，不是很简单吗？我拿过一个东西来数1234，不就完了吗？但是其实你会发现，它是一个深刻得多的问题，它可以体现非常深刻的数学思想在里头。也就是说这样一个数数的东西，它背后是有一个要求的。

那么比如说当我们一开始就是意识到可以数123的时候，原则上我们是要求我们数的那个对象，那些对象的大小、形状或者某种你关心的质，它是一个东西。比如说如果你是在数苹果，那么原则上你关心的事情是那些苹果的所包含的营养成分的量差不多是一个，对吧？那可以稍微放宽一点，就是它的形状大小。它或者说形状先不管，它的大小差不多是一个，它的成熟程度差不多是一个。那为什么这样呢？因为你将来数完这个苹果之后，你可能做的目的是把这个苹果分给三个不同的小朋友。那么当你给他每人一个或者每人两个的时候，你如果它们之间的大小完全不一样，它们之间的成熟程度完全不一样，那他们之间就可能会产生矛盾。所以其实你在数数的时候就有一个后面的假设，这个假设就是它是在某种同样的单位度量下，那个单位就是大家要有某种东西差不多的同一种质。就是比如说苹果，你关心的东西其实同一种质可以看做它们都是苹果、或者说苹果背后的营养成分。比如说更广义的角度，你说我分给小朋友们的时候，小朋友们不在乎它是不是苹果，只在乎它是一个甜的东西，或者只在乎它是个水果，那么我就可以说我实在苹果不够了，我还可以拿香蕉代替，对吧。那么如果你只在乎退化到甜的东西，实在香蕉和苹果不够了，我还可以用糖代替。那么这个都是那种某种意义上共同的质。因此数数它的前提是你被数的那些对象，它存在着某个自然的单位。在这个单位它背后还有一个假设，就是它们代表了某种共同的质、共同的东西，所以才能数数。所以你会发现其实你对任何一个东西数数，它是有很高的要求的，并且对于1234这些符号它也有很大的要求。什么意思呢？就说如果你的这个数数将来你不用去想着去分去干嘛的，你真是某种意义上的给它个编号，那么这个时候它的要求可以降低。比如说这里有一堆石头，它可能是，有的大、有的小，有的有棱角、有的没有。但是你真的只是给某个石头一个编号，你说一号石头，二号石头，三号石头，四号石头。那么只要那个石头的整体在一定意义上不太会发生变化，也就是说那个石头是一整块的，它不是说，它已经风化了，是一团泥。然后你是看起来一个，你一拿它就散了，或者随时随刻它就会散掉更多。只要它（不满足）没有这样的性质，你就大概可以把它当做算作一个。那么在算作一个的时候，你就会发现我这个1234的符号给它个编号，我就不需要它们之间的我前面所说的同一个单位的同一种质，因为我只需要给它个编号，所以数，它的起码的第一步的作用，它其实是个编号。那后来你会发现说我如果在编号的基础之上，还有某种顺序，我能够干更多的事情，因为你给我一堆编号，其实我啥也干不了。比如说当你给我一堆编号，他们之间又没有共同的单位的关系，也就是大小或者内部含的质都差不多这个假设不成立的情况下，你告诉我这里有10块石头，对我来说意义很小。但是如果你说这个石头每个都是差不多大的，意义就很大。那么我将来测量一块石头的大小或者重量，我就可以推断出整个的大小。甚至我可以设计一个我怎么去运它的算法，我是可以设计一个我怎么去平均能分给小朋友们的算法。但是这些不满足这个要求的时候。如果你能满足下面这个要求，也会有一个比较好的作用。这个要求就是它要么是整体上合起来构成某个顺序。要么是它们内部有某个顺序。比如说这十个石头之间它存在着大小关系，它正好1号石头最小，2号石头大一点，10号石头最大。并且如果大小关系，它们之间正好有某个等间隔的大小关系。也就是说1号石头比2号石头大的那个（数量）大的那部分，正好就是3号石头比2号石头大的那个部分。如果有这个，那又不一样了，我就可以来定义某种更高级的运算。

所以你会发现你看在一二三四五六七八九十这几个数之间，它们具有哪几种不同的作用呢？第一种是它可以用来当编号。第二种是它可以用来排序这个排序。我前面举的例子是内部的排序，当然你也可以说由于石头同等大小，我把它编成1到10之后，它有某个外部排序。因为这时候我可以告诉你说一二石头合起来相当于是两块石头这么大的重量。所以不管是内部排序还是外部排序，它只要有某种排序，我就可以干更多的事情。那第三个就是要求我不仅有排序，我还可以用来将来算加减乘除。那要求是什么呢？要求是数和数间的间隔有某种等间隔关系，当然不管是内部的还是外部的，都可以。

好，你看对于一二三四五六七八九十这几个数，我们知道了它的三个不同层次上的作用。第一个层次是代号，就是编号，第二个层次是序数，第三个层次是基数，做计算。实际上我们就会发现它背后为什么会有这个差别呢？因为第一种，它这些被我编号的对象之间没有任何特殊的关系，它这是一堆玩意，我干不了什么东西。第二种这堆玩意它还具有某种内部的序的关系，或者某种外部强加上去的序的关系。第三种，它不仅有序的关系，它连间隔都是等间隔的。那么只有它们满足了不同的性质的时候，我才能用尽管同样都是这几个数，它的不同意义上的作用。这就是数学它告诉你说我们用数学去描述一个对象，我们真正关注的东西是那个对象自身是否具有某种数学结构所要求的属性。如果有了，我们才能用那个对象去描述它。

师生问答

陶静

那假设这段听清楚了，我们来做一个题。大家来回答一下，请问一本书里头的每一页在什么意义上，它是个编号，在什么意义上它可能可以当做顺序，在什么意义上可能可以当作用来做计算的，就是有等间隔的东西？

如果这个问题太难，你也可以回答另外一个，比如说老师的讲稿上列了条目1，条目 2， 条目 3 ，条目 4或者老师布置的家庭作业当中列出了问题1，问题2，问题3，问题4。那么这些问题之间或者这些条目之间，它是编号、序数和计算哪一个层次上的数学结构，尽管他们都叫1234，好，谁来回答一下？

其实书里的公式算是计算吧，在书的最首页的时候，它会有一个看板，上面应该是有总页数的，然后在目录上面是做条目，条目上面是有页码。算的是第一个问题，就是说是一种格式，它是这种页数它是代表不同的，一个是在目录上面代表一种不同，二是它的每一章节每一个小段它代表不同。然后在在每一个页数里面会有一些像是一些计算或者什么东西的，它也是算不同，就这几块。

有一定道理，但是还不够深刻。我给你举个，我给你稍微往前做一点点提示对吧？比如说如果我是那个读书的人的话，那个页码对我有什么作用？它大概没有用，就是个编号，对吧？我将来就找到哪一页，我一看目录就找那一页就完了，所以它就是个编号。但是也就是说我不能来预期什么呢？我读了前面10页，大概用了一天，我不能说整本书100页的话，我用我用10天不能这么干对吧？因为每一页之间没有这种等内容（和内等内容）难度的关系，对吧？但是如果我是个印刷机，对吧？我是个印刷工厂，我怀疑我基本上可以忽略每一页印刷所消耗的时间上的差别。是的。那么那个时候我就基本上可以把它当做一个可以计算的数来用。

所以你到底当做什么用呢？它得是看做你将来拿它去干那件事情所关注的点。就你那个点，它是否满足前面的这些约束对吧，就是对计算要求最高，因为它既有排序又有等间隔。是的，所以你只要去想一想就行了。那么你从这个角度来问数学是什么就很好办了。以后你会发现一个东西，当一个对象当给你的时候，你得看这个对象内部的哪些属性是你关注的。而你关注的这些东西，自然就可以抽象成说它们满足下面这些性质对应着的数学结构是哪些，而不能说我因为看到1234了我就能算，不是的，因为这样就会出很大的问题的。

老师，他那个他内部这些公式，还有这些东西的话，它是不是也有一种约束在里面。

就是看你那个考虑的问题，就说它只要满足，就是对于大多数人来说，只要满足一个标号的作用就行了。但是对于有些人来说，比如说对于编辑，他可能出版社，他可能得算一下出版成本，对于印刷厂，他可能得算一下工作时间。那么这些时候它就会要求说我这个每张纸的印刷我必须要求是差不多的，对吧？对。那如果说会出现比如说在我的书里头，我一直跟我的编辑说有的时候我希望他们用横版印满一张纸，甚至用折纸的方式来印，那么这个时候就出问题了，对吧？因为我的有些概念地图太大，他用一页他印不下。当然最后编辑们可能基本上都把我处理成了一页，由于印刷成本的问题，但是如果按照我的设想的话，他应该印立只折页进去，对吧？是，然后那个时候的包装和印刷的成本都不满足我前面说的那个要求了。也就是说那个时候如果你还按照前面计算去算，那么你算出来的东西，你的估算的成本和估算的时间都会产生很大的偏差。于是你发现怎么办呢？你要把这种特殊的页面都给剔除以后算。

徐坤

还有老师，还有两个同学，一个是徐坤。还有两个，徐坤，徐坤和方胜说的，我也读一下徐坤的。

好。徐坤说编号的情况是书里面的内容没有啥特定的结构的时候就是编号，然后做序号的情况是书的内容，按照内容有递进的关系，这时候是做序号。然后第三种是做基数，就是等距数值。当书的每一页的内容相当或者递进的程度比较平均的时候，这种情况下计数。

是的，所以你会发现后面第三条是基本上不可能满足的，对吧？所以你最多只能按照当做前面两个东西来用，并且当做前面那两个东西的时候，也是因为你忽略了某些东西才能用。就比如说刚才我前面说的角度，如果你是读者，那你要注意大多数时候只能当序号，而不当编号。然后如果你是这个出版社，你有可能很多时候可以基本上当做算术的东西来用。是的，然后包含前面我讲的第二个例子，就是说我给你一堆题或者我讲稿先列出了123，你要注意它很可能其实是1，1.1，1.2，对吧？然后是2，所以这些所谓的列出来的 123，它其实这里头的问题更严重，它连是一个层次的东西都不能得到保证。所以绝大多数时候那个老师讲稿里头列出来的 123 ，你只能当做一个编号，并且是非常不准确的编号来使用。而学习者自己，你要还原到他的恰当的真正的数学表示里头去使用。也就是说他尽管写着12345，你得看出来他其实是1，1.1，1.2，2，这样的结构。好，还有下面的问题是啥？

方胜

还有方胜回答是说如果用于找到读的位置，页码就是编号，如果用来计算读书的数量，那么就是序号的、可做计算的。然后如果确定的是读书的顺序，那么页码就是序号。

对，但是问题是，你读书的内容你按页码算也不行，你总不能说。对，有，我记得有的人他们就经常这么说，我一年看了多少本书，我每本书看了多少页，疯了，有什么意义？你看多少本？那个本它是某种读书的收获或者某种读书的难度的单位吗？看多少本？太疯狂了。这个就是完全错误的运用数学的例子，看了多少本书基本上是没有意义的，因为这些本之间完全没有某种等价的这个单位在后面。当然你说你把它的本在百位上做一个近似，或者实在不行，在十位上做个近似，能不能大概有个含义？这个恐怕倒也可以。也就是说他其实看了 30 本和 40 本的人，你不要认为他们有区别，对吧？他只是看了 10 的量级的书而已。然后如果看到了七八十本，九十来本接近一百本，他不过就是看了百这个量级的书的人而已。那么从这个意义上大概也是可以的。也就是说书尽管没有一个很好的同等量的单位，但是有一个差不多的单位就是可以存在的。好，刚刚还有谁发言了？

天笑

天笑做了个补充，说就刚刚针对你说的那个书读了多少本，然后说背英语单词。有的人每天给自己的任务是背 20 页。

英语单词，如果它每个单词都是无脑的背，都是死记硬背，我怀疑这是可以的。对吧？每一页上的单词的数量假设差不多，然后每个单词反正都是死记硬背的背，那应该是可以当做有等有个某个等效的等距离的结构的。但是关键是英语单词，他如果有好的办法背的话，他会发现其实是一开始的比较难背，背到后面他完全可以联系起来背，这个时候效率就完全不一样了，所以他这个说法就不合适了。

探讨小结

好，我希望这个数学它对应着的结构和它的结构该用什么？它取决于你所描述的对象，它具有什么性质，进一步取决于你要对这个对象做什么。这个关系我希望通过这个例子讲明白了。那么这就告诉你说，你学习数学的时候，真的不是去学算来算去，你是要去看每一个东西对应着的数学结构为什么会在这里成立？而你的目的为什么在这个意义上成立就可以？而你解决了这些问题，将来数学才是描述世界的语言，才是你用来做思考的语言。那这个例子就讲到这。

白马非马

然后我会稍微再讲另外一个例子，这些都跳过。我从这里跳。看来我在数学上花的时间太多了。好吧，那再再再讲一个例子，不行，今天就拖点时间。

好，那这个例子是白马非马。那白马非马这个曾经是中国这个特别有智慧的人，显示他们特别有智慧的方法。说为什么白马非马呢？因为白马这个东西仅仅包含白色的马，马这个东西包含的是所有的马。所以白马肯定就不是马，因为如果它是的话，白马就也应该包含所有的马，然后它只包含白色的马。好，所以这句话的意思就解释明白了。

那么这句话这个论证过程和这句话其实也没有什么太大的问题，但是关键的问题在哪呢？是“非”这个东西。因为我们显然知道白马它肯定是马，对吧，因为它是白色的马，所以它肯定是马。但是这里的关键问题在哪呢？是两个“非”和两个“是”之间，他们是不同一个意义上的是和非。也就是说当我用前面说的白马合起来仅仅包含白色的马，它不是那个包含所有的马的那个玩意的时候，这个“是”呢，它用的是“等于”，也就是说白马的集合，它确实不等于马的集合。当我说白马它是马的一种的时候，我这个“是”用的是“属于”，也就是说白马它肯定属于马的一匹，而类似的跟属于这句话等价的。如果你非得用白马的这个群体来表示，那就是白马的集合包含于马的集合。也就是说如果你把白马非马改成下面两句话，第一句话就是白马的集合不等于马的集合，它肯定是对的。然后你改成白马不属于马的集合，它肯定是错的。或者说白马的这个集合它不包含于马的集合，它也肯定是错的。所以这句话的错和对没有什么可以讨论的地方，只要你把你的意思说清楚。

然而，在我们整个讨论这个问题的中国的先人们的这个讨论方式里头，他正好就是把这个意思不说清楚。他告诉你说白马非马有两种解释，一个“非”用现代的语言来说，相当于“等于”；另外一个“非”用现代的语言来说，是要么元素包含于集合，元素不包含于集合，要么元素不属于某个集合。那么这时候你自然就会发现，有一种情况是对的，另外一种情况在另外一个解释下是对的，于是你这句话本身是冲突的，但是你要发现，只要你把它用现代的数学语言描述出来，它没有任何值得讨论的地方。

好了，所以通过这个例子，我要告诉你说数学式思维的语言，你只要把意思说清楚，该对就对，该错就错。第二个层次意思，我想告诉你的事情是，当你来陈述一个东西，或者来做一个学问，来发展一个文明，得到一个知识的时候，你不应该关注在，我这句话说的到底是什么意思，而是任何意思请你先表达清楚。我们研究者或者学科，或者应用它的目的只或应用它的角度，仅仅在于我去看，你表达清楚的意思是对的还是错的。而如果这一点都不做，那么我们整个所谓的学术永远只能在争论啊，回到古代去对先人们的语言做一次又一次不断地解释的过程当中，这根本就不是所谓学问，这都是狗屎。所以无论如何，先把一句话说清楚，这是最重要的，然后我们才去讨论说这句话在我的理论体系当中是不是对的？当我用于实践的时候，它是不是对的？而在这一点上，数学能够帮助我们很多很多，因为它是一套明确地区分了我们日常语言当中这种“是”或者“非”可以既“等于”，也可以当做“属于”，也可以当做“包含于”的这多重的意思。而一旦你用数学符号去表达它，它就不可能有这种多重的意思。当然如果你发现你在你面对的的问题当中仍然会出现这样多重的意思。那么祝贺你找到了一个机会，你可以进一步把数学概念做拆分和澄清。说你看这时候我表达的意思才是我非常清楚的意思。好，那这个例子我也讲到这。

顺便，其实这真的不是一个危言耸听。在我们中国的这个整个学术传统当中，我们大多数的时候都在做白马非马，对吧，比如说道可道非常道，名可名非常名，我也不知道这句话啥意思。当然我本来就不是研究专家，我不知道也不奇怪，但是一大堆研究它的人也在争论到底是什么意思，这难道可以成为人类文明的知识吗？

从根号2是无理数看数学

好，那我们把这个也跳过，后面还有一部分我大概会需要一个例子。

提出根号2问题

好，那这个例子体现的就是数学知识的系统性以及做迁移。那我就非常快速地讲一下，因为这个知识本身应该是对大多数人都是清楚的。比如说我们知道根号2它是个无理数。那为什么根号2是个无理数呢？这是第一个要解决的问题。然后第二个要解决问题是为什么我们要去讨论根号2呢？那也就说根号2在现实当中或者从逻辑思辨当中它是怎么出来的？那如果你知道勾股定理，我们就知道从现实当中它就可以被做出来。

比如说你做一个等腰三角形，直角等腰三角形，那么它就会出现一个根号2，因为它的斜边和直角边的关系是一根号2。

解决方案

好。那么另外问题是，所谓的根号2，是不是无理数？就要去看无理数是个什么东西，它反过来的那个有理数又是个什么东西？那当我们把有理数搞清楚之后，我们才能回过头来说，我们来判断根号2是不是个有理数。如果它既存在又不是个有理数，我们才能说原来它是个无理数。因此在真正去讲解这个根号2是无理数的证明之前，你得搞清楚根号2是怎么定义的，根号是怎么来的，根号2这个定理的另外的侧面，也就是无理数的反面有理数到底是什么等等这些问题。至于它内部的真正的那个证明，它其实反而是一个简单的事情。

铺垫过程

好，那我们先来搞清楚这些问题，那说根号2的定义是什么？根号的定义就是一个东西平方以后等于2的数。所以它的定义就是A的平方等于2。比如说，举例就是你通过A的平方等于4可以知道A它等于正负2。那么类似的你就会得到说A的平方等于2的那个东西就叫做正负根号2。这就是它本身的含义。那通过勾股定理你就知道这个东西它确实也会出现，也就是前面是从纯逻辑地去定义它的含义，后面告诉你现实当中也会出现。

那这个时候你就要问说那这样一个东西是不是一个我以前所了解的数？那我以前所了解的数是什么呢？你会发现你从学数学的时候开始，你基本上就是从自然数、正整数开始。那正整数，由于你要满足这个减法的封闭性，或者说加法的逆运算，你就会发现我需要有0和这个负整数合起来，我们管它叫整数。然后对于整数这个东西，你要对除法和乘法封闭，你就会引入一个东西叫分数，但是这个分数以及小数那这个分数和小数这么个东西，它其实只要乘上那个一个很大的数，它就会重新成为一个整数。比如说任意有限的小数，你只要把小数点你有多少位数出来，乘上那个小数点的N次方10的N次方，你就会变成个整数。任一个分数P除以QQ除以P ，你只要再乘个P或者P 的倍数，它就会成为一个整数。所以就是有限小数和分数它很好，它其实都相当于是整数。所以比如说 1.1 元，它只不过就是11毛 。1点1元1分它不过就是叫做什么 111 分。那也就是说你把它换一个单位，就其实可以变为一个整数。所以你只要整数你是理解的，那么有限小数和分数你就理解了。那问题来了，你既然有个有限小数，是不是有一个叫做无限小数的东西？然后你对分数作为这个除法的计算，你不断地除下去，你会发现它通常会出现一个循环小数，因为分母是有限的，你除完之后每次的那个余数也是有限的，那么都是小于分母的，因此它是有限个。既然余数是有限个，只要你不断地除下去，它都不出现余数是零，它们就会重复。而只要出现余数0，那么你后面所有的商都可以改成0。也就是说对于分数来说，它永远是个无限循环小数，要么循环体是0，]要么循环体是那个重复出现余数之后的剩下的那一团。所以你知道了，这个从有限小数加上这个无限循环小数，因为有限小数它只不过是说它循环体部分是0，那么它们跟分数是等价的。

证明过程

好，于是剩下的问题就是我有没有一个东西就说我超越这个分数，也就是如果你从小数的角度来说，既然你有了无限循环小数，那么还有一个类别就是无限不循环小数，当然在所有的加减乘除计算的时候，你是永远也不会出现超越分数的数，从整数出发。所以里有理数或者说分数，基本上对于四则运算就够用了。那么现在回过头来，我们已经在这里产生了个问题，就是说有没有这个事件上的某种计算会产生一个超越分数的数？所谓超越分数，因为我们已经知道分数，不过就是无限循环小数，也就是说我们要知道一个超越无限循环小数的数，那么我们也预期它就是无限不循环小数。好，那么接着有了这样的能够变成整数的数，叫做有理数的这样一个概念，我们终于可以来问说。好吧，我前面从逻辑上得到的以及从现实当中得到的根号2它是不是个分数呢？也就是说它是不是个有理数，是不是个无限循环小数呢？好我们通过下面的这个证明，我们发现它不是，这个证明是怎么做的呢？说我如果是个根号2，我就假设它是个分数，假设它是个分数就是 Q/P，然后我就用这个根号2的含义。因为根号2的含义，我们只知道它乘平方以后是等于2，我们就把它平方一下，也就是2等于P的平方分之Q的平方。那么把它做一下，这个分母乘过来就是2乘上P的平方等于Q的平方。于是我们发现Q肯定是个偶数。为什么？因为 Q 如果是个奇数，它平方以后不可能是个偶数。那么由于这一点，我们就得到了Q既然是个偶数，它肯定等于一个2乘上一个整数K ，你把这个东西再带到这个方程里头去，你会发现P等于2乘上个K的平方，那这时候你就发现P也是个偶数。但是问题来了，你前面已经假设根号2是已经是一个最简分数，最简分数是不包含任何共同的因子的。可是它现在告诉你说，就算是个最简分数，它们俩都必须包含一个共同的因子2，而这件事情是矛盾的，最简分数不可能包含一个共同的因子。所以这就证明了根号 2 它不可能是个分数，于是它只可以是一个分数之外的数。那么在小数的意义上，就是无限不循环小数，因为无限循环小数的反面就是无限不循环小数。

建议

那么有了这样一个证明之后，你第一步要搞清楚的事情是，你有没有真的看懂这个证明，看懂的第一层次就是，我能把这个证明过程重复下来。

第二个层次就是，将来你比如说把它改成根号3和根号4的时候，你去重复一下这个证明做不做得对，真的不是一个很容易的事情。将来你真的自己去做，你会发现根号4你显然就会重复不下来，因为它根号4它是等于2的，它不是个无理数，它是个有理数。那这个论证过程为什么当改成根号4的时候就不行了呢？它其实是个很有意思的问题，你只有体会到这个不行，才真的把这个问题解决了。

根号2小结

但是解决完第一个层次之后，你得回来回到前面的这个问题，也就是说你实际上关注的事情是什么呢？我想知道根号2这个东西是什么，而我为了知道它们，我其实要做的是反向的铺垫，我需要知道我以前对数的认知有哪些。我得懂得有理数是个什么概念，我得懂得将来如果有一种东西超越个有理数，它大概会是什么样子。然后你懂得了这样一个概念网络，又明白了根号的含义，才能把这样一个证明真正的这个含义境界看清楚，而不是仅仅学会这个证明本身。所以关于根号 2 是无理数的证明，第一要学会这个证明本身，要能对根号 3 根号 4 的时候重复，并且知道为什么有的时候能重复下来，有的时候重复不下来。另外你要去看到整个在数的这个，这在前面跟它相关的数学概念之间是一个什么关系。于是你更加看清楚人们为什么要来问根号 2是不是个有理数的问题。

而你只有这样学完之后，才是明白某一个知识对于我认识整个数学是什么样的作用。也就是说在这里你要体会到数学知识之间的联系，你要借助符号来做深入的思考，你要来看前面为什么我们要去追求，那个变形以后会长得像整数的数，为什么我们要去从整数变到分数变到小数等等，这些都是对运算封闭性的要求。然后数学你对于一个把系统性的完备性的思考的要求。那当然如果你还能学会一下这个证明本身知道反证法，以及是知道里头为什么 4 的时候不行，也是有意义的。但是你看这个时候你就把它从第一层的知识一直走到了第二层的知识，走到了第三层甚至是第四层的知识，也就是说它变成了你对一个系统性思维和完备性思维的要求。

数学部分总结

好，那数学的部分我们就讲到这。那我要强调的事情是后面还有很多其他例子大家都自己去看，我也会告诉你说拓展到立方会怎么样，根号3和根号4会怎么样等等。但是我这个数学建模部分没有讲，我也就不讲了，因为没有时间先再来讲这个。那，其实这里头还有这个π的计算是怎么回事，为什么要去算派等这些例子，都大家自己去看。

好，那我们回到对数学的一个总结，也就是说首先我们强调数学是一门思维的语言、描述世界的语言。而为了起到这样一个作用，它需要具有严密性，所以它的逻辑演绎的证明是它的典型思维方式之一。它的数学知识之间需要有一些系统性，因为这样才能做更好地创造、使用和学习数学知识。并且它也成了后来整个人类知识的基础的典型的架构之一。然后应该说可能确实应该算之一，因为人类知识除了这种具有系统性的知识之外，大概还会有一些我所不懂的类似于完全碎片化的，我不知道是不是艺术完全追求碎片化的知识我不清楚，或者说其实它也追求系统性，只是现在可能没有人梳理出了系统性，或者说其实有人梳理出来了系统性，只是吴金闪没有看到或者没有看明白也是有可能的。但是不管如何，我们当时把它当做现代整个人类知识的典型的这种结构是没问题的。然后我们告诉你说，为了它满足这样的语言，除了论证上的严密性以及含义上的明确性之外，含义上的明确性就需要运用专门的数学符号。之外我们还需要它是一个就是描述结构的一个名词。也就是说所谓数学就是给某个东西一个名字。所以某个东西就是它里头包含了一些子东西，一些细更小的东西以及这些更小的东西之间满足了某个特定的关系、特定的模式。所以数学就是一个描述是一个关于模式，关于关系的一个学科，关于结构的一个学科。那么你从前面的具体知识，你得体会到数学是个什么东西。

然后前面我们也说了，就算1234这么一个简单的东西，其实一开始我们相当于是从集合，也就是说集合的元素就可以当做编号来表示它们之间没有结构，或者没有更多的结构，只有一个一个的数。后来我们发现它们之间得满足某个序关系，我们就可以用来把它做有序的编号。然后接着如果它们之间还满足某个等间距的关系，那么我们还可以用来做这个数学加减乘除的运算。

好。那么这些就是从整个数学学科大图景出发，在学科大图景层里头，又从数学的典型学科责任出发，来构建数学的整个知识结构。然后把它概念网络梳理出来，体现好这些数学学科大图景，然后选择其中的一个或两个例子告诉大家数学是什么。然后方法是通过面对问题、解决问题、提炼出来学科概念、提炼出来学科概念间的关系，进而提炼出来学科大图景以及甚至第四层超越具体数学学科的，可以被更多其他学科所借鉴的思维方式或者其他东西。

学科大图景的拓展

那这个就是数学的例子，我们就说到这。那我希望大家对于什么是基于一个学科大图景的教和学已经有一个认知。好，那有问题吗？有问题就问，其实你打开麦，直接问就行。

这个很重要，因为将来你要干的事情也是这个，只是说你可能选的只是一个例子，并且可能只是大概整个学科大图景的一个侧面，这些没有问题，但是这基本上也就是你要干的事情。

然后顺便类似的，比如说我们在企业里头，前面已经举过一个例子，就是让每个人看到自己干的东西和整个企业干的东西之间什么关系。那另外的就是其实在企业里头也有非常像的类研究和类教学的场景。什么是类研究的场景呢？就是说好吧，我一个研究型企业，我也会面对一些问题需要提出，对于这些提出的问题，我也需要从学科里头找到相应的解决的方法。那么这个时候我就需要把现有的关于这个研究对象相关的学科的已经有的哪些主体的知识结构，哪些典型的思维方式和分析方法先搞清楚，然后我去匹配这个要么是从具体的问题和具体的概念上匹配到我的研究问题，要么是从我的分析方法、思维方式上去匹配我现有的研究问题，然后我来解决这些问题，因此这个层面也是很重要的。

当然第三个层面是前面已经哪位学员给我们展示过的关于流程图的，就是那些低层浅层知识的显性化和积累，然后把它呈现出来，让大家更好地去学习去和使用，那么也是非常重要的。所以同样的这套东西，它其实是不仅在学科的教学和研究上是重要的，在整个问题解决，甚至非学校类型就是广义的科学研究和产品开发等等使用知识的场景当中也是非常重要的。

对，然后回到那天，我强调的那个教和学的方法是狗屎的论点，就告诉你说我们这个东西真的不是一个教和学的方法，只不过它是一套思维方式，可以用在教和学这个场景下的这样一套思维方式。然后只有当它用于教和学的场景下，它才大概可以看作一套教和学的方法。所以千千万万不要把我们这个东西真的看作一套教和学的方法，它真的不过就是一套思维方式，一套看待问题、展开思考的方式。

正是因为它是这个原因，所以它不仅仅能够用于教和学，还可以用于科学研究，还可以用于广义的知识的学习和知识的创造、知识的使用，也就是在企业里头的教和学、研究的场景，使用的场景。

好，那关于这个数学以及顺便展开讨论一下为什么我们不是教和学的方法，我就讲到这里。然后通过前面的例子，我希望你能够看到我们这里头那些高层知识生成器是怎么发挥作用的，我们是如何来做这个从具体知识的学习，具体问题的面对，体会到高层知识生成器的，也就是说我们是怎么通过上下左右贯通和创造体验式学习的方式来学会高层知识生成器的。

语文

好，原则上我今天的所有内容就讲完了，但是下面还有另外两个学科的事情，一个是语文的，一个是科学的。那我看看语文，我可能是快一点，用大概一个例子去讲一下，然后我再来剩下的时间来讲一下科学。好，那我们用同样的思路来看，语文到底应该学什么、怎么学。那么类似的我们先要从一个学科的学科大图景开始，而从学科大图景开始，要从这个学科的典型责任开始，对吧。

学语文的目的

那我们就说学习语文到底对我们对世界有啥用？你就发现它很简单，就是我们希望达到的境界就是有自己的思想和思考值得去表达，然后有了这个前提之后，我们能够去表达出来，并且愿意去表达。好了，这就是语文学习的第一个目的。

然后第二个是有别人的思想和思考值得你去看，值得你去把它搞明白，然后你可以把它搞明白，并且想把它搞明白。就这么个目的。

学语文的方式

方法论述

那我们下面就说那么对于这样一个目的来说，我们学习语文该学什么呢？然后怎么去学到那些东西呢？大概也明白这个路子了吗？

所有的学科都这么回事，就是你先找出来这个学科的典型责任是什么？它如何为人类以及为这个世界、为其他的学科做服务的，它要完成哪些服务？然后你就想为了完成这些服务，它必须具备哪些东西？这些东西你把它分成典型研究对象、典型研究问题、典型思维方式、典型分析方法不同的侧面。然后你说我用什么样子的具体的例子来把这些不同的侧面一个一个呈现给你看，让你也把它总结创造出来，假装着重新创造一遍就完了。下面我们就沿着这个来看语文学习到底要怎么做。刚才有人问个问题，什么问题。没有人问问题，是天笑说大家，因为您那边不是很多都没讲，大家回去看这个PPT，尽量全看一遍。

语文学什么

好，然后我们说，如果我们把这个字的问题先扔掉，然后一会儿我们会重新回到这个字的问题，也就是说假设字怎么学，这个字读音是什么，含义是什么，这个东西先扔掉的情况下，语文学习只要学什么呢？我们只要学如何去做阅读，如何去做写作。

学习语文的方法

概念论述

然后那么下面的问题就出来了。那么我们有没有什么具体的方法能够帮助你去做阅读和去做写作呢？比如说，如果我语文老师知道阅读和写作特别重要，但是我怎么教呢？

我说阅读就是读书百遍，其义自见，就是你去做整本书阅读，去做海量阅读去培养语感，你就会了。然后我就说你就去读吧，这语文老师是个狗屎，尽管前面他的这个定位定位好了，但是仍然是个狗屎，因为他不教你任何来真正提升阅读的方法。然后写作他也是类似说写作，语文写作就是这样，回去写，写他一百篇你就会写了，这还是狗屎。

我们得从学科责任走到帮助实现这些学科责任的方法。当然在这里我会告诉你说我们有一个方法叫WHWM分析性阅读和分析性写作。然后这个方法背后它的思想不过就是分解和综合，而且要不断地分解和综合，我会给你演示它都分解和综合在哪些层次上。然后有了这样的东西之后，我们要培养你一个习惯，一个意愿。就是当你有了方法去做，掌握了这个方法去做阅读和写作的时候，并且掌握了背后的思想的时候。

我们要选给你提供一系列比较不错的有思想和有思考的、有内涵的篇章，然后让你去读它的时候，还能有收获，最好这个收获甚至一部分包含这个分析方法和这个分析和综合的思想本身。那一旦把这件事情实现了，你会发现我阅读和写作的过程，不仅仅是在练阅读和写作，当成素材而已，甚至我阅读和写作的对象这个内容本身也是帮助我做阅读和写作的东西。当然，除了这个目的之外，我们可能在这个选择材料的方向之外，我们还会类似于选择一些别的，比如说是不是能够启发你在别的问题上的思考的，或者帮你形成某种这个被认为是Social-Norm的社会习惯的可能也会或者英雄的，也会有一些选择的题材，但是那个属于下一步的我们选择什么样的材料来帮助你形成意愿和习惯的问题。

刻舟求剑的举例

但是我们今天关注的事情是就是前两个告诉你分析性阅读和分析性写作是什么，以及让你体会到背后的思维方式、分解和综合是怎么回事。那为了讲这个，我给了大家这个一堆的例子。这个例子原则上我先应该告诉你WHWM是什么，然后我再告诉你这个分析怎么做。我给你做例子，但是我倒过来，先告诉你这个分析是怎么做的，我看我拿哪个例子，这是我后来这个写的例子，所以拿哪一个例子都行，我看我用哪一个例子，我要不还是用这个刻舟求剑的例子。

好，那这个例子里头包含哪些内容呢？首先是一篇文章写了教育是刻舟求剑。那接着是另外一篇文章，对教育和刻舟求剑，做了这个WHWM的分析，然后给你展示了这个分析的过程。然后为了让大家能够更加清楚地体会到这个分析怎么做呢？我原则上应该先让你看一下，教育是刻舟求剑这个篇章。

段落分析

比如说我干的第一件事情是什么呢？是把每一段话当中对于每一段话，我写出简短的一句话来，把这段话的主要意思表达一下。

比如说第一段你发现干的事情是什么呢？复述故事，提出论点，这个论点是什么呢？教育是刻舟求剑，对吧？当然由于有了这个论点。未来就是下一个问题，你的心里有个预期，预期就是那教育为什么是刻舟求剑呢？以及那教育是刻舟求剑so what？我们知道它是刻舟求剑，我们又该怎么做呢？好了，你就往下看，你自然就会发现第二段是什么呢？为什么教育是刻舟求剑，而这个为什么是怎么回答的呢？因为我们人类是，就是现在培养的方式是按照过去据我们已经有的对于这个世界的认知，以及怎么培养人的经验来做的。而我们这个做的目的，却是未来希望能够帮助到我们培养出来的人，当社会已经改变之后，仍然能够有幸福的生活，所以这真的就是在刻舟求剑。你看就是我们希望给孩子们的脑袋里刻下一些知识，这些知识是未来他要找到他自己的剑。可是那个剑，他自己在船上，而这个船是一直在往前走，所以教育本身就是个刻舟求剑。好了，那既然回答了教育是刻舟求剑，自然就会落到下一个我们刚才前面预期过的问题，说那刻什么？然后经过一番论证之后，他告诉你说应该刻这个高层知识生成器。那么既然他告诉你应该刻高层知识生成器，下一个自然的问题是，那什么是高层知识生成器？然后还要回答，那为什么要刻高层知识生成器？那最后如果他确实应该刻这个，那我们就应该说，那我们未来真的在做教和学的实践的时候，按照这样一个理念，教育是刻舟求剑，要刻高层知识生成器的这样一个理念，我们到底应该怎么做？好了，你每一段它大概说什么就清楚了。

段落关系分析

那每一段说什么清楚之后，你去看说，那他们段和段之间的关系是什么？

你会发现第二段直接就是对第一段的回答，所以这就是左边这个箭头。然后在这个三四五里头，它其实就是对刻什么的回答，然后，这个刻什么的回答呢？原则上这个为什么刻这个东西呢？它其实是牵涉到了前面两部分，前面就说刻什么和为什么去刻这个东西，它其实合起来是对前面的教育是刻舟求剑的响应，也就是说，教育是刻舟求剑论证完之后，自然我们要去回答刻什么和为什么刻。好了，所以你就发现345之间先构成一个内部的关系，或者说45之间先构成一个内部的关系。什么是知识生成器？解释的就是知识生成器，然后它们俩合起来回答的是刻什么。然后下一部分主要讨论的是为什么要刻这些东西。好了，把所有的东西都回答好之后，先告诉你教育是刻舟求剑。既然是刻舟求剑，我们就要问刻什么，告诉你应该刻知识生成器，为什么要刻知识生成器呢？这些问题都回答之后，下面落到最后的一个结论，或者说一个呼吁，看我们这个事情下面教育该怎么做，这就是一个分解和综合的例子。我把这个过程简短地重复一下，就是每一段话是什么意思，写下来非常简单的一句话，然后再去考虑各个段落之间的关系是什么。

分段与分层的差异

当然其实过去大家学的分段，其实它的作用差不多，但是分段这个玩意，第一它不是特别合适。因为你看比如说像在我们这里，它是个层次性的结构，你把它分几段都不是特别合适。当然你说我实在不行一刀切在这个第二个大括号的位置，我把它分成这样四个段落，也凑活着可以。但是你会发现其实我把它分成两个段落，分在第一个大括号的时候，如果你一定要分段的话，反而更合适。可是这世上没有人会这么分段的。所以分段尽管从道理上说和我这个层次结构图的含义差不多，但是分段没有层次结构图更加准确。

其次更加恶心和恐怖的事情在于，当老师教分段的时候，基本上不会教你这个段为什么要这么分。他不会告诉你说是因为段是这个意思以及段之间是这么个关系，所以分成这个段，这是分段传统语文教学最恶心的地方。如果一个老师他用这种不准确的分段，但是他每次分段的时候做这个分解和综合，告诉你为什么我们要这样切分，其实也是可以的。好，这个就是第一个层次的分解和综合。

论述分析成果

好，做完这个分解和综合之后，我们相当于回答了哪些问题呢？我们就回答了下面这几个问题，这个文章主要说了什么？它是怎么说的？怎么说就是说它先展开什么样的论述，后展开什么样的论述。

比如说在这里我们过了一遍这篇文章主要说了什么呢？教给孩子们的东西要谨慎选择，最好是知识生成器。那么这样一个观点它又是怎么来表达的呢？它先用了一个类比，把它类比成刻舟求剑，进而通过刻舟求剑强迫我们的读者开始思考，如果是刻舟求剑，那我们应该刻什么？因为刻舟求剑是一个大家知道本来就非常不靠谱，基本上得不到剑的东西。那么既然教育也是这么个问题，我们更加应该谨慎地去考虑刻什么的问题。那么接着再提出来说应该刻的是高层知识生成器，然后进一步解释什么是高层知识生成器。接着讨论了为什么高层知识生成器它值得刻，最后做了总结和呼吁。

也就是说基本上我们把每一个段的意思以及段之间的关系做了总结，就回答了篇章层次上的怎么说的。

进一步探索

然后接着下面就是那为什么这样说，为什么这样说？就是说你得看它的这种展开方式的理由，我们会发现展开方式的理由，它其实是一个借助这种刻舟求剑这种特别愚蠢的行为，来给你造成个冲击来形成思考。

那为什么说这个？那就是作者，他可能通过说这个能实现一个什么样的目的？

那比如说在这里，因为我自己就是作者，我告诉你我的目的就告诉你我是因为现在对什么都进课堂，什么都值得学，什么都是基础知识，非常的有意见，这些东西都不应该进课堂，进课堂的东西都应该是极少数刻了以后就有用的刻痕。

而这个有用，当然不是说对实践直接就有用，对发展他的思维，对于将来他学什么，怎么学有用的东西。而这些东西对于提升他的精神世界有用的东西，而这些东西正好就是高层知识生成器。好，然后最后回答说，那我对这篇文章说了什么、怎么说的，以及为什么说，这个怎么看？那我自己编的，所以我顺便就告诉你说我怎么想的，说观点很有道理，论述也很有新意，但是不够详细和深入，也没说怎么刻，这就是一个例子。

概念地图

那么下面这张图是把前面的这个层次结构图画成一张概念地图，它告诉你这就是把左边和右边的东西结合，因为我右边写了每一段的一句话，左边展示了段之间的关系。那么合起来，每个概念框子里就是这一段里头的主要意思。然后放在连词上就是相当于把那个结构层次图的线条用一个连词来表示。

所以比如说你会看到第二段和第一段之间它们关系是什么呢？它是论证。也就第一段告诉你教育是个刻舟求剑，第二段是告诉你为什么我们认为教育是个刻舟求剑呢？所以回答了这个为什么呢？就论证了第一段。好，最后你会发现会形成这样一个概念地图。然后当然你也可以换一个结构说把所有的子段都放进去，就是把第一段第二段这些自然段都放进去。放进去之后你会发现它们间的关系是什么呢？也就是说这样就更加能够清楚的展示就是每一个小部分他们之间的关系。那再下一层是说，那好吧，假设我有一句话没读懂，我怎么办呢？那你就把这句话也拆成这句话里的典型结构。这句话里的这些结构之间的关系，也就是说你把里面的一句话也去做这个分解和综合。那你说不仅有一句话甚至有一个词我也没明白，我怎么办呢？这上面是一段话，每一句之间的，每一句的意思以及句子间的关系，下面是这句话里头每一个词的意思和词之间的关系。然后再下面是说我假设有一个词我不懂，那就把它拆分成这个词里的字和这个字之间的关系。然后你说还有字我也不懂。那你就去分，把这个字拆成部件，看它每一个部件的意思和部件之间的关系。那你把这个从篇章一直到字的这个分解和综和的拆分都做完了，当然不一定画成概念地图的形式，最好画成这样的形式。因为画成这样的形式以后，可以更加好地帮你定位好它们之间的关系是什么。然后你又从小跑到大，说这时候我整个都明白了，我把它从底下从字到词，从词到句，从句到段落，从段落到篇章，整个就都明白了。整个之后我又构成一个整个说了什么、怎么说的？我为什么说这个、为什么这样说，我怎么认为，我觉得怎么样的这样一个系列重新过一遍，这时候就做完了这个从上到下分下去，又从下到上合起来的这样一个过程。

你只要学会这样来阅读和写作，那就没有任何的问题。好，那这个例子就讲到这儿。

提问

大家有问题吗？说吧，徐坤。我其实想问一下，就那个吴老师一开始对那篇文章的不是有一个段落层次，或者关联关系的，或者支撑关系的分析嘛，那种关系本身它是会需要我们整理套路的吗？就譬如说我们如果想有一个特定的论证，那就譬如像这张图里面的这种层层递进的支撑结构概念是最好的。

是的，所以实际上就是说我们这里是直接跳到了第三层，对吧，学科思维层就典型分析方法层，但是其实它是有概念层的，但这个概念层，因为在语文学科里头，我们没有完成整个梳理，所以我们没法做，所以现在没给大家展示。也就是说它其实针对不同风格的文章，它是有一些典型结构的。

比如说总分总的结构大概是最常见的，对吧，但是除了这个结构之外，应该还存在着一些典型的结构，所以原则上我们将来应该在这套思想方法的指导下，把大量的篇章做完分析，然后总结出来这个典型结构以及典型结构的适用场合，这时候才能真的丰富大家的语文知识。但是这部分我们暂时就不管了，因为原则上有这个分析方法的层面，就暂时够用，对吧。只是未来如果我们想变成一套语文教材，那还是要去丰富那个学科概念层。明白，好，谢谢。

闪哥，我刚刚想问的是，我今天听你这么分析下来，我突然对你的这个说，教育就是在刻舟求剑吗？我有点…就是因为你是用这类比就说是教育相当于在刻舟求剑，你这个类比本身就有点…你看我们那刻舟求剑的故事是说你看剑掉下去了，大家要不那个人最好的方式赶快下去去捞，如果他会水的话去捞能够捞起来，你不管什么方法刻，这个剑是溜走了，所以从类比的故事本身上来说，会不会有点问题？

所以如果是真的刻舟求剑的情形的话，你是怎么刻都没用的对不？但是就说教育，它不是一个事先掉下去的剑，对吧？对，其实是一个未来会不断掉的剑。甚至都不知道是什么剑。对，所以原则上对于教育，刻舟求剑是有希望的。对，就说那个剑，它会随着你去寻找它而生成。是的，所以这是他们俩不同的地方。如果是真的就是那个掉下去那一把剑的话，那我怀疑是永远也做不好的。对，我觉得你的这论述里面是不是少了一点。就在你的最开始提出教育是刻舟求剑这个，因为你是从那个故事引过来的。我应该告诉他这个类比的…这个类比的差别在哪里，是吧。差别在哪里？对有道理告诉他，原则上这还是可以去追寻这剑，是的。好的，我没啥问题。

就是缺乏了一个告诉大家说教育为什么可以去求这把剑？但是这个东西也是个belief就是我们认为关于这个世界的认知和知识是一个将来可以不断地去求索的东西。这其实是没有道理，它是个belief。对，这个你没法证明，你只能说我就是认为是这样子的。对。所以就是说当然作为科学家来说，我肯定相信这个belief，但是你说那为什么他教育这有把剑是可求的，你一定要逼问我，我还真不知道。我哪天得想想这个问题，没准我能回答，但是反正现在回答不了，现在它只能对我来说是个belief。

群里那个聊天框里方胜又说，语文是在精确性与高效性的平衡。语文能够描述难以概念化、数量化的场景与内容。他的语文的观点，原则上，我同时再说一下。原则上都是。他也补充了一点，他说同时语文表达的内容每个人感觉不同，而且受到场景和情景的影响。也就是这篇文章的刻舟求剑，大家都会偏向于文章所希望大家认为的意义。

原则上你是可以做得到明确的，只不过因为它是自然语言，它本来就存在着多个理解的渠道，所以它会有一定的模糊性。但是只要作者所表达的意思是明确的，你所用的方法也尽量使得这个明确的意思表达出来，它完全是可以明确的。

所以，在我这里头，本来比如说你写诗就不应该受我这个约束，你随便写，写诗应该有诗本身的规律，对吧？

但是你除了写诗之外，你要是把一个问题说清楚，原则上都应该受我这个方法的约束。我是认为所有的这种希望把事情写明白的语言，原则上是可以替换成一种形式语言的。只不过我们现在可能没有这种形式语言，但是，是做得到的，也就是说，最好的情况下，理想的情况下，我将来都可以把这段话当中的每一个词变成一个概念，然后每一句话变成概念之间的一个关系，变成一套可计算的体系。

比如说现在的自然语言处理只是水平没这么高，没这么可靠而已，但是基本上已经实现了这个功能。就你大概这段话想说的主要意思是什么，其实是可以算出来的，所以除了意识流、写诗这种本来你就像模糊的除外。

物理学

物理学科大图景

那我们下面还是同样的道理，对吧？那如果是为了学会科学的物理学，我们应该学会物理学的什么？那也就是物理学如何为世界服务的？物理学的典型思维方式、典型分析方法、典型研究对象、典型研究问题是什么？然后再找出来应该用什么样的例子来体现什么样的问题的解决和提出来体现这些高层知识生成器，然后借助中间所形成的、通过解决这个问题所形成的物理学的概念的网络。

典型研究对象

好，所以我们说我们来看看物理学是干什么的。说物理学其实是研究这个世界当中这个那些所谓叫做物理对象。然后一会我们会来总结出，什么是物理对象的这个状态的变化、结构这些东西的。那么这研究这些问题可以干什么呢？因为我们这个世界当中有大量的更加复杂的对象，可以认为是由这样的对象形成的，

或者说，比如说，甚至我们最复杂的按现在来说最高级的那就是我们人，那原则上也可以认为是由最基本的肌肉来控制我们的运动，然后化学反应来帮助我们的消化和身体里头的机能的保持。然后原则上大脑来控制我们的决策告诉我们做什么的这个决策，然后再传递到这个物理系统当中去，传递到比如说肌肉状态里头去，然后再通过这个化学反应构成的整个系统，给我们整个这样的肌肉的运动提供养分，给我们的思考提供养分。

所以你会发现，大概来说，除了思维大概是个什么，剩下的东西基本上都是物理对象的问题。那当然你也可以说从根本上就算思维是什么，这个问题是不是很大程度上也能被还原成一个物理过程以及你找出来那些真正的非物理的过程是什么，也会是个很有意思的问题。

比如说原则上你的感知觉，应该说感觉部分基本上也是物理的过程。只是比如说当你看到视觉或者触觉，它会先转化成一个这种电信号，比如说传到你的视网膜上，就能转化成一个光信号，传到视网膜上转换一个电信号等等，电信号再传到你的这个大脑里头，才会变成一个真正的你要的你可以按照它做决策的东西。

可是中间的大部分过程，除了你那个做决策的那个核心之外，其实基本上都是个物理过程。甚至你如果将来更仔细地研究会去发现说是不是那个做决策的过程当中，也仅仅有某一个特别关键的步骤，甚至连这样所谓的关键步骤都没有。其实只不过都是物理过程，也是有可能的。