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#微积分总览

大家好，我是吉尔伯特-斯特朗，这是《微积分重点》系列视频课程第一课。开设这门课只是希望它能有所帮助，因为我认为，学微积分的时候很容易在厚厚的微积分课本和大量的习题中迷失方向，过分拘泥于细节，无法得到提纲挈领的认识，我希望该课程能提供一种总览。

对于我来说，微积分不过是关于两函数之间关系的学科。

什么叫两函数关系，下面有个很好的例子。

• 函数一：距离，移动的距离，可以理解为汽车里程表上的读数。

• 函数二：与距离相关的是速度，它用来描述运动的快慢，这就得到一组函数。

我还可以给出另一组例子，还有很多这样的例子，但想要说明问题，两组例子足矣。

第二组函数中：

• 高度是函数一，如果作图的话，它表示图像相对x轴的距离，竖直方向的距离，这是关于高度。

• 另一个函数告诉我们，变化多快，可以以爬山来理解，高度用以表示我们爬了多少，而斜率则用以表示，在每一点处能爬多快，是竖直向上、水平还是向下。

因此距离和速度、高度和斜率，是入门的极好例子。

下面我将引入一些必要的数学符号：

• 距离，我用f(t)来表示，f代表移动了多远far，或函数function。而数学概念上，t是自变量，它表示移动一定距离需要的时间，这里距离是因变量。

• 而对于高度函数，可以用y(x)来表示。x表示水平距离，它是自变量，对于每一个x，对应垂直方向的因变量为y，所以，这里的f表示走了多远，y则表示其图像上的垂直距离，这就是函数一的两个例子。

• 下面讲斜率函数，这里速度（speed）和斜率（slope）首字母均为s，因此用s表示速度或斜率，还可以表示函数二（second）。

下面讲讲它在学术上的正确表示法，该表示法将函数二和函数一结合起来。

• 如果函数一是时间的函数，表示移动的距离，那么速度的正确表示应为df/dt。这是通用的表示方式，我再读一次，记住它的读法，可以不读中间的 /，莱布尼茨发明并开始使用这种表示法。

• 那么这个如何表示，根据前面的表示，方法相同，记作dy/dx，再一次重复其读法，dy dx，这就是斜率。

以后我们需要搞清这些符号的含义，现在暂时只把符号写出来就可以了。

匀速情况

下面从最重要的，也是最简单的例子开始。是什么例子呢？这个重要的例子，基本上是一目了然。也就是匀速的情况，不变的斜率。

作出其图像，开始作图，速度的图像，没错，速度。时间朝水平方向，速度朝上。需要说明，本例中速度不变，保持匀速，比如取其值为40，因此速度保持垂直方向40不变。

噢，对了，还需要加上单位才合适。诸如英里/小时、公里/小时或米/秒，不过这里容我只写40，好，如果运动速度为40，…英里每小时。

距离是多少？下面开始在原点处带一块里程表。这里还是时间，纵轴则变成了距离，一小时之后，移动距离将是40，标出t=1，里程为40，这是40处。当t=2时，里程等于80，而当t=1/2（小时），里程为20。所有这些点在一条直线上，一条直线，包含了匀速前进时经过的所有距离，不变速率、匀速就是一条直线。已经讲了距离和速度的函数，现在可以开始进行比较了。

这里可以将其看作高度函数，高度40，高度80，这时，斜率是什么呢？只需要看一下两函数之间的关系，什么是斜率？对于距离，匀速运动时，读里程表就能知道。那么速度怎么得到？只需要求斜率，也就是1小时后40，40除以1，或者用80除以2，结果一样，因为是匀速，因此斜率等于纵向除以横向。等于40/1，80/2，20除以1/2，这里只写80/2=40，这简直像是在做算术，下面用代数来表示。但现在还没用到微积分，当然微积分也快了。这里可以这样，因为速度是常数，可以用距离除以时间。把速度也表示出来吧，垂直/水平、距离/时间、f/t，这就给出了s，好。

那么，在两函数间转换的微积分是怎样的…我们已经知道了，代数可以在两函数间相互转换，比如这里我们从函数一转换到函数二。下面我将沿另一个方向转换：假设知道了速度，如何反求距离，如果我知道速度是40，而且我知道是从0点开始的，那么距离是多少？或者说，垂直距离是多少？它等于…它两是一样的，等于…现在我要反方向求解了，如何找出f，它等于s乘以t，代数中，两边同时乘以t，自然而然就得到st了，得到st，一条直线st，或者y=sx，用y和x表示，这是一回事，均是一条直线。如果函数二是常数，那么函数一就是一条直线，非常直观，但这是基础。

变化量

下面，再增加一点小小的内容。

假设测量时间2和时间1，观察时间2和时间1之间，总共行驶了多远。这就需要引入另外一个记号，这个记号非常重要，也就是f的变化量除以t的变化量，这里用到了字母Δ，Δ其实表示差值。时间2和时间1之间的差是1，高度2和高度1之间差为40，不管你看哪一小段，斜率始终是40，因为直线的斜率是不变的。

这里我们讲的是速度，所以大可不必从0点开始，起点可以不是f=0。比如我画一个，假如f从40开始计，里程表从40开始，1小时以后我走到80，又1小时我走到120，看到是什么情况了吗？这与里程表从多少开始没关系，里程表的变化量（差）才是里程数的值。

很明了吧，就是这样个例子，一个非常简单，非常基础的例子。

非匀速情况

例中速度为常数，下面我将讲到速度变化的情况，课程里我总得讲点微积分吧，这才进入了微积分的范畴。

画个图。首先画函数一，函数一的又一例，还是有时间，然后距离，还是从0点开始，但速度不再是常数，速度一开始就很快，但它会逐渐减小，看出我在减慢吗？注意，我不是说粉笔的速度在减慢，我说的是斜率，斜率一开始很陡，逐渐平缓，到这一点，减为0，如果是一辆车，它怎么在运动？开始它在前行，因为距离一直在增加，这里距离增加快，这里增加就很慢了。可以说，这里打了个刹车，刹车，因为它碰到了红灯，这里就是碰到红灯的地方。还是这个例子，考虑速度的图像是怎样的，还是用图像表示。

这里我无意引入公式，我可不准备一口气就把所有细节都描绘出来。实际上微积分的很多细节我都没打算考虑，微积分包含内容如此繁杂，我不可能把所有细节都讲到了，本课程，我只希望讲一些重点的内容。

这里的重点是什么？需要弄清图大概是怎样的，从这里开始，速度或斜率从上面这一点出发，因为一开始速度很大，然后减慢，然后到了这一点，把这一点标出来，看出这一点速度会如何了吗？该时刻，速度为0，车停了下来，速度逐渐下降，下降……到了这个时刻，速度为0，对应这个点，对比两个图像，两个函数，它们包含的信息相同。

因此对于微积分，其作用是知道函数一，求函数二；或知道函数二，求函数一。

• 从函数一求函数二，这叫作微分学。又是个很专业的名词，简单说，就是从函数一找函数二（速度）。

• 函数二求函数一，则叫作积分学，求法叫作积分。

比如当你知道了速度随时间的变化趋势，这时你想求距离，就需要积分。因此一个方向是微分，另一个方向是积分。

好，问题来了，如果我继续绘制曲线，到了红灯以后，假设距离开始逐渐减小，发生了什么？距离在减少，表示车在反向行驶，在倒车，速度会怎样呢？变为负值，距离从大变小，这表示速度变为负值，速度曲线会掉到横轴以下，…虽然图画的不怎么好，但可以看到，这一点是汽车行驶的最远距离了，然后它就开始倒退了，速度相应的变为负值，两条曲线不同，但包含信息相同，明白了吗？

这让我想起了一部老电影，叫作《春天不是读书天》。不晓得你们看过没，一个孩子借走了他父亲的…应该说是偷走了他父亲的法拉利，开了很久，于是里程表读数变得很大。他又怕父亲注意到里程表的变化，于是他想了个点子，把车放在千斤顶上，然后让车轮反转，心想这样就能让里程表往回走了。天晓得里程表是否会回退，回退的话，倒车时读数就麻烦了，但是，如果汽车的制造者稍微懂点微积分的话，他们做速度表的时候，就应该标出0以下的部分，同时里程表也应该能回退。我是说，这部电影是为学微积分的人准备的，如果我没记错的话，影片中里程表最终没有回退，于是那孩子疯了，猛踹汽车，汽车从千斤顶脱落，砸破窗户，掉出去，毁了…如果按照微积分的理解，来制造里程表的话，估计还有救。好了，故事完了。

这是速度变化的第一组函数例子。好，我想第一个视频中，不久我会引入函数公式的。这在微积分中是无法避免的，f(t)必须由某公式给出。比如，这里就有公式f=st，很简单，有了这个公式，我们知道速度是s。之后还会有更多的公式，我举个例子，要知道，这样的函数对到处都是。

什么例子呢？以人的身高为例吧，人的身高，好，这又是一组例子，可以让你们熟悉函数间的关系，人的身高和身高的变化率。这是身高，记作y，标明它表示身高，那函数二叫什么好？斜率似乎有些不妥，函数二的要点是，它代表函数一的变化率，因此这里是身高的变化率，它表示变化率，还是记作s，标明，变化率；这种描述很好，下面，我想知道一个典型的人，身高会如何变化。

…其实，作图的同时，我又想到了一对函数，我简单口述下吧，说完了再回头讨论这个。另一组函数，一个是存在银行里的钱，叫财富吧，这样叫舒服点，那对应的函数二是什么？如果函数一是，总的财富，表示你的身价。那么函数二就是其变化率，表示你存钱的快慢，s可以表是存钱，如果s小于0，也可以表示取钱，如果s为正，表示财富增加，即存钱，如果s为负，表示财富减少，即取钱，钱虽然不能总增加…

但身高基本都是增加的，还是回到身高的例子中。…这个表示时间t，单位年，这个也一样。

• t=0，表示人的出生，出生时有多高…我怎么知道…而且这个时候也不叫“高”吧，只有到能站起来的时候，才能称作高；不管，就叫高吧，我猜猜，20英寸如何？不对的话，我道歉，我也不知道，就算是20英寸吧，刚出生时这么大。

• 然后人会长大，然后长大了一点，大概长大到了六七十英寸，反正是在长大，把这里标作10岁，这里是20岁，那么长得应该比这个快，假设是在健康成长，这样。

• 然后，大概到了十二三岁，身高会急速上长。这里要注意，两个图像上的迅速成长期表示法不同，但意义是一样的。此时身高突然急剧增长，一会就差不多到了成年人的高度。十二三岁开始猛长，

• 但这种势头不可能永远持续下去，到了这里就会变得平缓，变得平缓，实际上到这里就不怎么长了。

• 实际上，到了…具体是哪里就不多讲了，大概很老的时候吧，身高也许就会下降，这个不是重点。

那么，函数二图像会是什么？它是函数一斜率的图像，

• 0时刻的斜率应该是…由于立刻就开始生长，s图像是表示生长率的图像，所以它不从0开始，生长多快，斜率就是多少，初始点就从哪开始。非常有趣，讲着画着，突然“斜率”就成了正确的用词，一开始生长，就有不错的增长率，这里还是先标上10和20年。好的，长势喜人，到了这里。

• 然后是迅速成长期，突然成长的速率变得很快，

• 但不会总保持如此，之会变得平缓，增长率越来越小，从这里跌落到了这里，这就基本不长了。对比两图，这里是快速成长期，这里也是快速成长期，之后成长停滞，这里是变得平缓，这边则是下坠，

• 实际上，当人很老的时候，身高还会减少。

实际上…人们肯定已经找出了一种近似公式，来描述增长率，但这不是我要讲的，我这里只是想强调函数一和函数二之间的相互关系。

匀加速情况

下面举最后一个例子，这一讲的最后一个例子。这个例子中速度会…还是作出两函数图像…纵轴还是表示距离，而图像二中，纵轴按照惯例，还是速度。下面这个例子中，我们将用公式表示，假设速度稳定增长，此时的速度图像，将保持恒定比率上升，这就是速度s，这是时间t，因此s等于…s正比于t，所以才得到直线，s可以写作a乘以t。如果我是搞物理的，我会告诉你a是加速度，这里持续加速，你的脚下就像抹了油，速度持续提高，因此s正比于t。

下面，考虑距离，距离怎么变化？如果这里是在加速，你的速度持续加快，相同时间移动的距离也会越来越多。如果这是斜率，那么斜率会逐渐增大，看这个图，0点处打开里程表，开始时速度为0，你的距离不会显著增加，只有稍微离开0点以后，才开始显著增加，但其增加速度也会越来越快。对吧，虽然永远达不到无限速度，但速度为无限增加。

微积分的问题就来了，我们能否给出距离的公式或方程？本例中，我是从函数二开始的，因此现在我想知道函数一，它们是一对孪生兄弟，看看到底是什么情况吧。

假如从比萨斜塔探出身子，像伽利略那样坠下什么；当然，不一定要在比萨斜塔上，刚开始，该物体是没有速度的，但立刻它就能获得速度，这里的a与地球的重力常数有关，那么距离是什么呢？

下面我将展现微积分的神奇，一个小小的神奇。我将从速度回到距离，这就相当于积分了。当然，这是之后的内容，第一部分内容中，我们大部分是从方程一求方程二，但从二到一也是无法回避的。这是时间t，那么显然，这里的高等于…高等于at。

非常有趣的是，该图像表示的是图像二下的面积，图像一、函数一，表示图像二下的面积。由于本例中，加速度恒定，速度稳定增加，因此这是一个三角形，底为t，高为at，显然三角形面积为…我想说的是…该面积就是函数一，这太神奇了，它表示的就是三角形的面积，等于1/2底乘以高，这就是面积。微积分告诉我们这就是函数一，因此函数一是…函数一等于1/2 at²。

这就是函数一，而这里，如果用刚开始使用的记号，这就是df/dt，如果这里是函数f，那么这个函数就是…看看这个曲线是什么？那个平方是不是感觉似曾相识？这表示它是一条抛物线，抛物线在数学中可是名声显赫，它的重要性就体现在这个独特的公式中。

这样，函数一就求出来了，这样，我们就找回了遗失的信息，关于距离的遗失信息，虽然没有里程表，但只要有速度的记录，这些都能求出来。注意到，从这里到这里我一直用的是速度，速度有点像在告诉我，距离是怎么积累起来的，距离就像是一个总和，而每一时刻的速度只是个瞬间值，这个后面的课程中再讲。差别在于，总和表示所行的总距离，而速度只表示某时刻、某瞬间，距离的变化量，速度相当于t点的斜率，斜率也就是这里的高，at。

因此这就是第一…还是用第二吧。第一组微积分函数在这里，然后导数是s，这里是第二组，f是这个，其导数是df/dt，如果该f=1/2 at²，那么df/dt=at。还是这个法则，2次幂降为1次幂，但需要乘出来一个2，和前面的1/2消掉，于是就剩下a。

到这里吧，《微积分重点》开了个好头，谢谢。

本视频由MIT开放课件制作，吉尔伯特-斯特朗主讲，视频由Lord基金赞助播出，帮助OCW继续提供更好的免费课程资源，请登陆ocw.mit.edu/donate进行捐助。