05-积分总览

https://ocw.mit.edu/courses/res-18-005-highlights-of-calculus-spring-2010/

好，准备上课今天我们讲微积分的另一大方面之前讲到过两个函数我把它们分别命名为高度和斜率y(x)和导数s(x)函数一和函数二微积分就是它们间的关系

早先，我们已经会通过已知函数——函数一来求它的导数

• 如果函数一只是一条直线的话，求导很容易只要用垂直距离除以水平距离就能得到

• 但是，如果函数一是条曲线的话就不那么容易了得用一小段垂直距离除以一小段水平距离然后让距离不断缩小得到的结果就是函数二，即导数

今天，我们要反过来在知道了导数，也就是s(x)的情况下来求高度函数，求出y(x)的图像在知道了函数每一点导数的情况下综合这些信息，来求出高度函数

逆运算

我给你们讲一种最简单的求解方法这种方法就是，在知道导数的情况下反过来想想什么函数的导数是它

举个例子一种用得很多的情况是x的某次幂xⁿ，这个大家都学过当y=xⁿ时那么求函数二，正向求导这一步的结果也就是dy/dx，把n移下来次幂减一如果已知条件是：这个是导数反过来这就是高度函数就这么简单

但是，其它形式的导数怎么求呢让我讲得再详细一些如果导数是xⁿ，那会是怎样的情况即如果已知函数二是xⁿ，那会怎样假设dy/dx=xⁿ，比如x²这个x²的原函数是什么

看看这里的运算方法对幂函数求导时幂次要减一如果得到的导数是xⁿ那么，往前倒推函数一应该含有xⁿ⁺¹当然，这不是最终结果因为对这个式子求导后这里的n+1次幂要移下来就如n移到这里一样n+1也要移下来那么，我最好在这里除以n+1这样求导后n+1消去了次幂减一，结果是xⁿ好的，例子讲完了

这个例子很实用，从函数二求得函数一通过认识的导函数反过来求即可这一类大家已经学过了另一类是正弦和余弦函数，也可以用这种方法求还有一类是指数和对数函数诸如此类，可以总结出一张表以后你们会学到如何通过倒腾已知导数公式反求函数一

实际过程

当然还有许多例子许多函数是凑不成这种形式的无法凑出上面讲过的那些函数形式这种反求的公式也许有人学过也能从网上找到，或用计算器算出来有很多这样的公式表，帮助从函数二反求一

但是，今天我们要了解的是：实际过程是什么就是：这一步的逆过程是什么

这一步包含有当Δx->0时的极限因为万事万物都是在变化的要用曲线来表示我不能假设事物都是一成不变的

那么，在逆过程中这里我要引入一个新的符号如果已知s(x)，要反过来求y(x)也就是从函数二到函数一函数一即y(x)，我要引入的符号是…我要引入的就是我所画的这个积分符号可以写成∫s(x)dx这里是s这种写法其实非常合理这个先不管，一会再讲那么，下面该怎么做呢

首先，我要取许多间隔我要尽快地讲到连续变化的情形先取单独的间隔然后使这些间隔变小最后取极限，使得它们连续

好的，首先是取大间隔让我用例子来说明假设有一个函数y相同x间隔下，y的取值是0、1、4、9、16…这些值表示高度图像看上去像几条直线段只在几个点上变化对应的斜率是什么呢

这代表函数一斜率s代表函数二这里的间隔是1，纵向也是1因此斜率是1这里向上为3这里向上是5这里向上是7这里相当于求上下高度之差也就是求Δy，这些s的取值就是Δy

逆过程怎么做呢假设我给你们1、3、5、7并从y=0开始你们能反算出y值吗1+3=41+3+5=91+3+5+7=16…如果s是每段间隔上的高度差那么，求y就是对s的值进行累加将这些斜率值相加来得出一个高度

我再举一个例子说明这一点这次我先写出斜率因为这是今天要讲的假设斜率的值分别为4、3、2、1、0如果s表示速度的话我会说：“我正在减速”虽然在减速，但依然在前进有正速度，但我踩了刹车那么距离是多少呢

如果这里里程表从零开始那么在第一段间隔也就是第一个Δx内；路程是4下面是多少7，对吧我把速度累加起来，得到路程这里是4加上3到7、到9、到10这里我就不动了；因为没有速度，即斜率为零斜率为平，达到最高点10

我能用数字来计算，也能用字母来计算现在，从算术方法过渡到代数方法也就是说我要引入字母但这些还不是连续的，因此还不是微积分

那么，用字母可以表示为y0、y1、y2、y3、y4这都是y的取值如果水平间隔是1的话，它们的斜率是多少先求垂直距离差，也就是Δyy1-y0、y2-y1、y3-y2、y4-y3

那么，我的问题是这些可以表示为s，也可以表示为Δy这些是y如果我将Δy都加起来，结果会是什么你们知道将这四项加起来得到的总变化量是多少吗

当我将这些项加起来你看，y1与这里的y1抵消y2和y3也都能消去那么总和是…我用求和符号来表示你们应该懂的，那么总和是…多少这些y是不是都消去了当然不是，剩下y4和-y0所以，结果是y4-y0最后一个y减去最前一个y写成y最后-y最前或者说y终-y始就是Δy的总和简单的代数

这再次提醒我们一次又一次地提醒我们，这是函数二到一的逆过程将之前的结果加起来也就是将各个小块加起来得到对应的y好了，下面才真正要进入我想讲的

终于要引入微积分了微积分需要从Δy/Δx出发那么我要怎么做才能与微积分联系起来

我要让Δy除以一个更小的间隔Δx这里可以这么做除以Δx再乘以Δx为什么要这么做因为Δy/Δx是一个变化率我们可以让改变量Δx越来越小我要观察很小Δx上高度的变化于是这个比值开始有意义Δy/Δx成为一个有意义的数慢慢接近函数s近似但不等于dy/dx然后乘以这个越来越小的ΔxΔx趋向于零，但还不等于零最后，通过求和得到了y终-y始

现在，要用到极限了也就是求左边这个总和的极限取极限的过程中，间隔被分得越来越细随着Δx的变小如果假设x总变化量不变把它不断细分这样，被分得更细部分的斜率乘以相应的Δx得到这个结果

那么现在我就可以在这个式子上加上极限使Δx->0右边y最后-y最初保持不变换一种表示方式y终-y始，一回事这一块在x->0时就成了dy/dx这个乘以Δx的总和并且Δx->0这里我这么写了

求极限后用求和符号就不合适了所以，就引入了积分号积分其实也是一种求和只是包含了求极限的步骤同时，极限中这一块就变成dy/dx这个符号是dx这就验证了我之前所写的式子，s(x)对应dy/dx

所以，在讨论中，我先用了算术方法再用代数方法算出这些项的总和，这都很简单然后引入了极限，这就有点难了

求极限

极限的许多方面还没有讲到那么，我下面具体讲下求极限的过程

用一个例子来说明一下我用一个特定的函数，按照上面讲的步骤就是求极限的步骤，来看结果是什么应该是得到函数一此外，我们还可以了解到函数一的另一种意义

好，开始吧先给出一个特定的函数s(x)这里是x设s(x)=2-2x现在就不用刚开始讲的那个简单函数了当然，这个也并不很难我们将看到下面会发生什么

我把这个函数画出来因为我要用到这个函数的图像x=1时，s(x)=0x=0时，s(x)=2大概在这里中间是1两点用直线相连下面还有，我就不画了于是y终=0，而y始…错了，这里是s不是y，对不起应该是：s终是0我还不知道y终的值是多少应该不是0

那么，我的方法是…当然，并不只是我的牛顿和莱布尼茨以及许多人都用过这种方法很有趣吧早在牛顿、莱布尼茨和其它任何人用这种方法之前阿基米德就已经想到了阿基米德发现了处理抛物线的方法他利用某种特殊思想通过抛物线x²来反求高度函数他是史上最伟大的数学家之一但即使是这样的人，也没能发现函数一与函数二之间的联系如果他发现这种联系的话，他将有更多收获

好，让我们来看看这种联系我要做的是，先取一个Δx使Δx=1/4这是Δx这是2Δx这是3Δx那么，1这里就是4Δx因为Δx=1/4看上去很小，但并非如此

接下来该怎么做好，看第一段这条线是斜率函数s，函数二我把函数一画在这也就是函数y函数二的积分但是我还无法画出具体的图像这是个值得讨论的问题

那么，让我们开始关键是在这个区间内导数在变化虽然变化不是很大，但还是有变化的我无法用代数来处理这种情况区间内，我可以取…可以在区间内任取一函数值，并保持不变

比如可以取开始时的值第一个Δx的范围内假定对应斜率值保持为2也就是，假定这是斜率函数再看第二个Δx区间假定其斜率值保持为1.5下一个假定为1最后一个假定为0.5好的

现在回过头，将距离和速度与这里联系起来我要把整个时间，比如把一整天分成四份每一份的速度都是变化的这种情况我无法处理代数方法无法处理

因此我只能这样假设速度在起初一小段时间内是一个常数这可以用Δt取代原来的Δx…s表示速度，但是图像不会有变化接下来做什么来做加法通过加法不会得到y的精确值因为用这些矩形本身就不精确但可以通过减小Δx，使这些矩形接近实际值

让我们看看现在的情况

• 在第一个时间段，斜率是2Δy/Δx=2也就是s，然后s乘以Δx

结果是什么现在要解决的是2乘以Δx可以看作是这个矩形的面积我是第一次提到“面积”这个词之前从来没介绍过这是一种全新的认识

• 在第二小段中速度将保持在1.51.5乘以Δx因为我假定速度保持为1.5这是我走的路程这段路程就是高度的变化，即y的变化

• 下面的也是如此下一个就是1乘以Δx

• 最后一个是0.5乘以Δx

这是一种代数的加法运算结果是什么这还是那一块的面积这是那一块的面积这是那一块的面积得到的结果要大于实际因为实际的斜率值要比运算中的小一点

我将这几块加起来算出了结果但这个结果并不正确，不是最终结果如何得到正确的结果呢可以把Δx一分为二我们完全可以这样做

现在图像有所改变新的图像是什么样的在原来第一个Δx的基础上减半前半段斜率不变，后半段掉到了这里让我把原先的擦掉现在的图像就像是把原先矩形的一个角砍掉这些角都去掉变成这样的Z字型画得还不赖

现在的图像由8块矩形组成这是由于现在Δx减小为1/8矩形的数量增加一倍这就是之前讲总和时讲到的情况这个总和由更多项相加而每一项被分得更小了每一项的大小又等于Δx乘以s

通过极限我得到了一个连续的和这好比是通过速度来计算里程通过这张图，你们看出结果吗当Δx越来越小后，阴影部分形状会变成什么阴影部分上端会与曲线重合这些多余的小块最后会越来越小最后1处的y值…就在最后这一刻等于斜率曲线下的面积y就成了曲线s(x)下的面积

那么x=1时，高度是多少看0到1这部分的面积是多少也就是求三角形的面积三角形的底是1高是2那么，三角形的面积就是1/2底乘以高0.5乘以1乘以2，面积为1总共的面积y是1

不过，不慌“不过”…先让你们庆幸下成功吧继续讲…不过如果我只要求一半时的高度结果会是多少如果我要求x=1/2时y的值也就是到这一点的面积我暂时把这部分图像擦掉我们始终考虑的是面积这部份的面积是…噢面积怎么求这里不再是三角形了x趋向于0时，得到一个梯形算下梯形的面积是多少底是1/2而平均的高是3/2计算不难底1/2，平均高是3/2结果应该是3/4，一半处y=3/4，3/4在哪…这个是1；这个是3/4，这个是1/2，这个是1/4x=1处为3/4不对，应该是，1/2处为3/4

下面要开始作图了直接跳到极限情况用这一讲一开始说到的方法猜一把它的原函数这是一条捷径毕竟没有人想每次求积分都用这么复杂的过程最好的方法是，直接找y函数看什么函数一具有这样的导数

• 我们试试我可以把函数分两部分看，这是性质允许的

• 那么导数是2的函数是多少斜率是2的函数是多少速度是2，距离是多少是速度2乘以总时间2x的斜率是2，这很显然

• 那2x呢什么函数的斜率是2x看看这里x²的斜率是2x对x²求导，2提了出来这里有个2而这里幂次小一个

这就是要求的y但愿我的图像能准确经过这些点x=1时，这是2-1高度1正确x=1/2时这就是真理降临的时刻x=1/2时，y是多少得到2×1/2，即1；减去(1/2)²，即1/4嘿，奇迹！面积求出来是3/4前面的方法也是3/4乘法也是3/4，减法也是3/4，哪种方法都一样

那么图像是怎样的这里图像是怎样的开始时斜率是在哪开始时的斜率是s始s始对应x=0，斜率为2因此开始时斜率为2但斜率在减小，像这样就好比汽车在减速运行距离没之前那么快了高度上升没那么快了但仍然在向前仍然在上升所以开始斜率为2，逐渐向下弯曲我猜，最后会…图像算不上完美，但很不错了斜率为2

这一点斜率是多少图像看不出来，毕竟画的并不完美x=1时斜率我们是知道的此时斜率为2-2=0斜率为0，高度和面积不再增加这显然是对的

这一点后没有面积可加了继续往后，面积还会损失因为到了x轴以下，相当于面积减少如果考虑速度，则相当于逆行这里会往下如果继续的话，图像还可以画下来顶点在x=1处然后下滑…不知道滑到什么地方也许x=2处吧确实，x=2处，曲线值为0x=2，y=0x=2时，可以看到这些反过来的面积等于正的面积或者说往回行驶的路程和往前行驶的相等到x=2处，整个面积或路程是0/#

下面总结下今天讲的是：如何从函数二反求函数一

• 最快的方法是反过来想什么样的函数一求导能得到这个函数二

• 如果想不出来或者是想了解背后的极限原理你可以用类似代数的方法关键是这个式子它蕴含是很多数学的真谛Δx趋向于0，这个比率变成斜率函数而Δx被无穷小量dx代替以后你们会看到更多，谢谢

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