11 对数函数和反三角函数的导数

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开场

开讲 之前我们介绍了对数，它是指数函数的逆函数，现在我们将引入微积分，求对数的导数，我们还要讨论其它一些逆函数 比如这个就很重要，sin的逆函数 有时也记作arcsin，我们也会求出它的导数。

我们现在所做的是，大体列出导数的所有重要法则。

• 我们会求和的导数，直接将导数相加即可，

• 减法的导数就是导数做减法，

• 乘法法则我们也知道，

• 还有除法法则 。

这就是求导的四则运算了。

• 然后最最重要的就是 链式法则了，千万别忘了它也是求导法则 千万别。

• 下面还要加一个，f的逆函数，这是今天的话题，逆函数的求导 将完成这个求导法则的列表。

通过一些简单函数，像指数函数 三角函数 幂函数，这些法则可以料理出所有常用的函数。

下面 从最重要的开始讲，f(x)=ex，其逆函数就是我们的自然对数了，注意这里 我是如何换字母的，这里x是输入，而y是输出，指数函数中是如此。

所以 对于逆函数，y变成了输入，输出产生原来的x，需要记住的是，需要记住的是 x是指数，对数求的是指数。

这里其实有一个函数链，一个非常棒的函数链，这是逆函数的法则，从x开始，求f(x)，得到y，然后求逆函数，这就回到了x，这就得到了一条函数链，这个链结果非常特别。

这里的情况是 如果我们知道如何求导f，链式法则可以告诉我们，如何求逆函数的导数，我就用这个重要的例子来实践一下吧。

对了 倒过来 也可以用链式法则，如果输入y，求逆函数 得到x，然后f(x)=y。

逆函数性质

在我用ex之前，我们先看另一个函数，我总喜欢从它开讲起，这里的例子是…，它能帮助我们回忆下逆函数是怎样的，线性方程y=ax+b，这就是f(x)了，线性。

其逆函数是什么，逆函数的关键是，我需要解出y的表达式 来表示x，将b移到另一侧，最后 我想得到x等于某某，可以将b移到另一侧，得到ax 还需要除以a，这就得到x的式子了，这就是逆函数f−1(y)了。

注意逆函数的一些性质，这里是函数f(x)，是否有点像两步完成的呢，它自身就像是一条链，第一步是乘以a，先乘 然后 加。

逆函数干了些什么，对逆函数输入y，它减去b，所以它首先进行了减法，得到y−b 然后做除法。

我想说明什么问题呢，我想说明 如果函数由两步构成，本例中是乘法和加法，逆函数执行的则是逆步骤，用除法代替乘法 用减法代替加法，而且顺序相反，注意到乘法在前 而除法则在后，加法先做 而减法却是后做，逆函数中… 算了 你们懂的，这是必然的 必然如此。

就好比 我站在沙滩上，然后 走到水边，游到船坞，这是我从现在的位置到船坞的函数f(x)，那么 我如何返回呢，应该是首先游泳对吧 肯定不能先走路，从船坞 只能游回来，游过去的，逆情况中 你就需要游回来…算了 你们懂的。

对数函数导数

推导

下面才是真格的了，我要取一条函数链，然后求导 就用第一条吧，第一条链表示 lnex=x，对数就是这么定义的。

我们取，这个方程的导数，两边同时求导，ln的导数是我们要学习的 是未知的。

求右侧的导数 显然得到1，再看左侧 这就有趣了，这 要用到链式法则，某某的对数 我需要求导…噢 这里我需要更多的空间 写这里吧，lny的导数，y就是ex 这大家都知道吧，这里是lny对y的导数，然后根据链式法则 我还要求内函数的导数，内函数是ex 求dxdy​ 写下来，而右侧的导数，非常简单的是 右侧的导数是1，很好。

我要求这个是什么 而这个我知道，dxdy​ 指数函数的导数，下面要用到的性质 也是构建指数函数最重要的性质，dxdy​就是ex，这没问题，然后把它除过来，来求我要的。

几乎成了，我是说 我们基本上求出了lny的导数，结果很对，但是，还有一步要走，我要求的是y的函数，ln是y的函数，求导的结果也应该是y的函数，所以有必要把x换成y，很容易，ex等于y。

结果

欧 看看这个美妙的答案，ln的导数，我们要求的这个，它等于y1​，我为何说美妙呢，因为，这完全是意外的惊喜，我们求得函数lny，其导数是y1​，关键是… 这个其实是−1次方，这个幂次 是我们之前求导时唯一没有得到的。

我把它写下来，记得吗，我们一开始讲的导数，是求导xn，幂函数，大家都知道 它等于nxn−1，任意次幂函数的导数是少一次幂的函数。

例外只有一个，n=0，我写一下吧 例外 n=0，当然 其实n=0 也没错，我是说 公式仍然是对的，例外在于，当n=0时 右侧等于0 得不到−1次方，求导时 没有幂函数能得到−1次方，这就像导数列表中的一个遗漏，没有幂函数能给出−1次方的导数，这里 它终于现身了，我是说…

也许你会说，这里干嘛用y 好吧 y是字母表第25个字母，

• 如果谁更喜欢第26个字母 我没一点意见，你可以写成dzlnz​=z1​，

• 不过估计更多人估计喜欢写成，dxd​ 用24号字母，lnx的导数为x1​，你们这样写 我毫不介意，爱写x的请随意。

其实 之后 公式可以这么写，在这之前 我必须保证x和y的逻辑关系，毕竟一开始我是从y=ex开始的，我写成y 这是为了保证不把自己弄糊涂，完事之后 大家用什么字母我都没有意见，

• 如果是增长 可以考虑用t。

性质

大家想想，有了这些 我们就能知道为什么对数增长这么慢了，因为其斜率是y1​，看这个，用它来考虑图像，考虑x轴上的情况，这是对数曲线的斜率，对数曲线是在增长 但其斜率在减小，逐渐减小 当x很大时 它几乎不怎么增长了，它还是会持续上升至无穷大，但非常 非常慢，这是因为指数函数的增长非常 非常快。

记得吗 逆函数图像其实是原函数图像倒过来，所以 如果其中一个疯长，另一个必然暴跌。

好，这就是今天这一讲 最主要的内容和最重要的公式了。

反向

我可以…下面反方向来看下这条链，看看是什么情况，反方向是怎样的，我想 反方向是…原来我写的是lnex=x，反方向就应该是elny=y，相同的链 相同的f−1 只是放到了f前面。

我想干嘛，我想求导，求两侧的导数，对y求导，很好 挺有意思，这是右侧的导数，左侧 稍微费事点，不过e的某次方 这种形式求导我们是会的，要用链式法则，当然是链式法则啦 我们干的就是这个嘛，因此e的某次方 记得链式法则吗，等于e的 还是那个某某次方，乘以，里面那个的导数，求导 内函数是这个，lny对y的导数，这就是我们想求的。

1没问题 那elny是什么呢，哈 上面一行不写着吗，elny=y，这个括号内其实就是y，把它弄过来，放到分母 还是原来的结果。

lny对y的导数等于(elny)1​ 也就是y1​。

比起一般的课程 我们这里关于逆函数讲得多了一些，之所以如此 是因为它们并不那么简单，却又如此重要，这里指数和对数的联系即是如此。

顺便提下，我喜欢从指数开始，逻辑上 也许从对数函数入手，步骤也许会更流畅一些，对数函数取逆函数 就是指数函数了，但在我看来，指数函数太重要了，虽然对数也很重要 但显然不及指数函数，所以我喜欢从ex开始。

反三角函数导数

arcsin

大家耐心了，我今天还要讲一个导数，第二个导数就是这个了，来吧，我想求导arcsin函数，推上去 写在这一边的黑板上。

x=sin−1y 通常记作arcsiny，好，我们… 嗯… 那么…这里还是一条链，从x开始 得到y，y=sinx，而x=arcsiny，就是这条链，从y开始 求f−1 求f 最后还是y。

我感兴趣的是导数，求arcsiny对y的导数，还是套用之前的方法，但现在不是e 而是sin，两边同时对y求导，我总是喜欢这个1，这个对y的导数要用到链式法则，这里是某内函数的sin，导数得到内函数的cos，还要乘以内函数的导数，这就是我们要求的。

cos(sin⁻¹y)

这部分首先得求出来，也就是说 我们现在得考虑下，这里的逆三角函数了，逆三角函数是个什么故事呢，关键在于 这里是一个角。

角 我画个三角形吧，这个是角θ，这是sinθ，这里是cosθ，谁都知道 这个斜边是1，这个是θ。

好 噢 等等 我希望θ是……这个，这个角的sin值是…这个角的sin值是y，好的，θ是正弦值为y的角，好，我呈现在图上。

邻边是多少呢，我这里需要整个cos出来，这个边是多少，回到直角三角形最关键的公式 勾股定理，这一边等于根号下…这两边的平方和要等于1，因此这里是根号下(1−y2)，这就是cos了，cosθ等于这个除以1。

到这一步，我这里只是很快地，随手画了一个三角形 角记作θ，令它的sin值为y 然后求出了cosθ，因此这里的θ 其cos值应该是这个。

下面 我把结果写出来吧，即1等于cosθ 也就是这个，乘以逆sin函数的导数，然后需要把它写成…我需要解出y，我们需要将导数写成y函数的形式，这里只需要把这个除过来就行了，把这个划掉 写到这下面，答案就出来了。

这就是arcsin的导数，1除以根号下(1−y2)。

这没有y1​这么美妙，但这个也曾经多次出现在我们的问题中，sin和cos用于描述圆周上的往复运动，上上下下 来来回回 前前后后，而这个结果原原本本来自于勾股定理，它出现时 我们需要知道，它就是arcsin的导数。

arccos

既然讲到这里了 我把arccos的导数也写出来如何，然后这一讲就算完了。

arccos的导数，大家想想区别在哪，我们求导sin和cos时，cos求导会产生负号，因此这里是−1除以根号下1−y2，这其实有点出乎意料，这个函数导数是这个，这个函数的导数也是这个 只是多了个负号，

相加

也就是说 相加的话。嗯 最后几分钟 我们想想这个情况，假设将sin−1y和cos−1y相加，其导数会消掉，导数之和，我就在这里弄个大大的加号吧，等于0，这个的导数加这个的导数，是一个正的加一个负的 等于0，为何如此，想过吗。

什么函数的导数为0，你们应该知道什么函数的斜率为0，常函数。

因此我说 这里必然有，arcsin+arccos是一个常数，其导数为0 皆大欢喜。

事实也确实如此，arcsin给出的是这个角度，而arccos函数会给出…另一个角标作α如何，一个是θ，一个是α，相信吗 三角形中，θ+α等于常数，致使导数为0，当然 大家都知道的，θ+α 这是直角三角形，将两角相加 得到，90°，常数 2π​，90°没问题 但这里不能这样写，必须用弧度表示，常数。

好 千万别忘了今天的重要结果，我们找回了原本遗失的−1次幂，下课吧。感谢收听。

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