07-乘法法则和除法法则

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7.1 开始

本视频的主题是导数今天讲两条求导的新法则如果已知函数f的导数同时已知函数g的导数那么我们可以通过它们得到新的内容两条直接得到的重要法则是 积f(x)g(x)及商f(x)/g(x)对应的法则

若已知df/dx和dg/dx的公式乘积的导数是什么呢显然 它不是df/dx乘以dg/dx我就不玩悬念了 直接写出来吧乘积的导数等于 第一个函数 乘以第二个的导数然后加上 第二个乘以第一个的导数这就是乘法法则它有两项 明白了吗

下面看看如何使用它给大家一些例子 看看它有什么用处还要看看它是怎么来的完了我们再讲比较麻烦的除法法则

7.2 正整数次方

下面先从例子开始写在下面这里我的第一个例子是f(x)=x² 而g(x)=x那么p(x)是多少是x²·x 将两个函数相乘得到x³下面我想求它的导数这两个的导数我会求

乘法法则告诉我们什么它告诉我们p的导数dp/dxp=x³ 所以这里求的实际是x³的导数大家知道是多少也没关系我们看看这里是怎么推导出来的通过乘法法则 x³的导数是第一个函数x²乘以第二个的导数1加上第二个函数x乘以第一个的导数2x结果是什么 x² 又两个x² 总共是3x²

x³的导数得到3x²x³比x²上升更快其斜率更陡

好 下面再算x⁴对于x⁴ 可以取f=x³ g=xx³我刚已经求出来了而x的导数是1那么以同样的方法 可以求导x⁴…还是用乘法法则来计算x³和x得到x³·1+x·(x³)'我将始终依赖乘法法则f=x³的导数我们已经知道 它是3x²把它代入 得到什么x³ 又3个x³总共是4x³我们又求出了一个 了不起

看到重点了吗 这就是数学的实质我们可以通过这两个例子 看出一般的模式除此之外 我们还知道x²的导数是2x我们可以发现这里的2 3 4其实来自这里的2 3 4我们还可以发现导函数的幂次比原函数少一 x²导数包含xx³的导数包含x²

我们用代数来表示这种模式大概就是下面这样xⁿ的导数 对于任意任意nn可以取2 3 4 也可以取0或1如果模式延续下去会怎样这个4 这个n会到这里幂次会减一得到xⁿ⁻¹原来幂次减去一

这个公式非常重要实际上重要的是 公式不仅仅在这一两个例子里成立它对任意n都应该是成立的我们可以检验1 2 3等等所有情况所有整数 所有正整数我们可以证明它我们建立这种模式之后 可以通过归纳法来证明简言之 如果知道了n=3的情况 n=4也知道了知道了n=4时成立 n=5乘法法同样适用 一直下去最终会得到这个公式 好

7.3 任意分数次方

7.3.1 思路

其实这个公式甚至对任意分数成立

如果求导的是根号x记得根号x是x的几次方吗根号的指数是多少 1/2于是我想求导x的1/2次方通过一些步骤 就能实现这个目标步骤和这里的很类似

但这里是x的幂次如果能求导f(x)的幂函数就更好了我想… 下面就是我要做的我要求导f(x)的n次方等于什么 这就是我要求的

7.3.2 [f(x)]ⁿ的导数

从f(x)开始 可之前一样取f(x) n=2 [f(x)]²f²的导数是什么比如sin² cos²这样的函数对于[f(x)]² 我可以取g=f然后用乘法法则 如果g=f我就能得到平方 同时乘法法则就有了用武之地

我把法则再抄一遍这里要求的p是f²f²=f·f而f又等于g我这里只是将乘法法则用在f=g的特殊情况下f²的导数是什么f乘以f的导数df/dx 这是第一项

然后第二项是什么这里我没有特意写g 因为g和f是一样的然后 第二项是第一项的翻版得到两倍的f·f'这同求导x²的情形很相像只是这里是f(x)的平方

下面再往前 求f³的导数f³怎么处理…它…等等先看看这里哪些是值得关注的这个2非常眼熟 是吧而这个和之前的x类似 很平常只是这里多了个新因式 新增了个df/dx它会一直陪伴我们 等着瞧吧

[f(x)]³ 现在来试试这个怎么求导呢 如何处理f³f还是那个f我可以取g=f² 相乘得到f³g在这里设为了f²所以现在可以将乘法法则用到f·f²了f·f²应用乘法法则这里相当于g=f²这与前面情况类似 只是换了个f²进来了离胜利不远了

如果这玩意是立方我该怎么做我将立方分解为f·f²然后通过乘法法则求导第一项是f·(f²)'10:55.460'刚求出是2f(df/dx) 这就是f(dg/dx)项 然后还有一项g·f' 即f²·(df/dx)

得到一个什么结果得到的结果可以合并 这就是美妙之处这里有1个f²(df/dx) 这里还有2个 总共是3个最终得到3f²·(df/dx)

让我们看看这里模式是怎样的这里是n因为这里有个2这里是2+1 也就是3那么如果是n次幂 这里就应该有个n然后乘以低一次方的fⁿ⁻¹还要乘以什么还要乘以这个穷追不舍的df/dx这个我喜欢叫作幂法则求导幂函数 这里只是求导xⁿ而现在我们知道x函数的n次方如何求导了

这里有一个特别的内容 之后我们还会细谈我所说的幂法则其实是这个特别内容的一个例子即最重要的 链式法则注意这里求导之后还是得到了原来的模式 这里是n然后函数幂次减一但要注意后面还需要内函数的导数链式法则时我还会讲到这个

7.3.3 根号x的导数

n·低一次的幂·内函数的导数为什么要求导这个这都是为求导根号x做铺垫我们试试吧要用到这个结论用这个结论来求导根号x

我的函数是f(x)等于根号x这是一个很好的例子 x的1/2次方我希望结果是什么呢我希望公式保持原来的模式n=1/2仍然可以套用公式 事实也确实如此

怎么做呢 根号x我要对付这个函数简单的办法就是 平方它 得到x根号的平方f(x)… 它是根号x上面就是啦我只要用到根号x的性质即其平方等于x

这就是数学 基本思路都很直观但需要有所出处

现在我要两边同时求导右边的导数是1x的导数是1左侧的导数是什么呢我可以用刚才建立的模式 它就是f(x)的平方我们已经求出了求导f(x)平方的公式它的导数是2乘以f的幂次减一即根号x的一次方还要乘以内函数的导数 继续提到"内函数"它等于df/dx 也就是我要求的d(根号x)/dx

这一讲不会有太多的计算了不过这里算得很值得对两边同时求导很直观很直观地得到2倍根号x然后通过整理就能立刻得到答案两边同时除以这个用黑板擦如何算了 直接叉掉吧这边写成1除以2倍根号x

求出的答案是我想要的吗 希望如此1/2显然是我要的1/2可以看作是n 它应该出现然后这里我希望得到什么我希望得到比1/2少一次幂 即x的-1/2次方这正好是我要的有1/2而这个根号x 即x的1/2次方 它在分母在分母里 就相当于负指数这个到时候还会讲到 这是代数的重要性质

然后微积分会用到所有这些…我不想用"东西"这个字眼微积分会用到所有这些代数里学到的知识 比如指数这是一个很好的例子

我们的模式对n=1/2成立推而广之 它应该还对立方根及任意次方根成立

换言之 现在这个公式我们正在让它的适用性越来越广

• 一开始 很直接地 它适用于所有正整数

• 现在 它又对所有n=任何分之一成立记作N 它对N次方根成立 比如1/2

• 继续推广它还对于M次方的N次方根成立即它对M/N次方也成立任意分数次方都成立

但目前我还不能推广到负数次方 因为这涉及到除法负指数是除法 所以需要除法法则这一块目前还是空白先暂停一下

7.4 法则推导

7.4.1 乘法法则由来

我一直在用乘法法则 但我还没有解释它怎么来的所以 还是先解释下为好它怎么来的呢我将回到这个问题上回到所有这些写满黑板的例子之前回头来看 乘法法则是怎么来的如何求导p=fg

这需要引入Δp然后需要除以Δx我们试着求一下Δp是什么 这里p是f·g

想想f·g 我讲得直观一点用长方形来表示其一条边是f(x)另一条边是g(x)那么这个面积就是f·g 对吧这个长方形的面积就是p了这是x处的情况

下面开始移动 将x稍微移动一些x变化一点后 看看乘积会如何变化

这就是我们要求的 我们要求p的变化量x变化了一点 那么f也会变化一点变化量为Δfg也会变化一点 变化量Δg还记得Δ吗它表示变化对了 这里有个Δx

x是初始点 然后需要变化一点当x变化Δx时f会随之变化一点g也会变化一点那么其积也会变化一点能从图中看出积的变化量吗

这就是f变化后的值这是g变化后的值 积是这个这个更大的面积那么Δp是什么 它是大块面积和小块面积的差这一块 我需要求出这一块的面积它就是Δp能看出来这个面积吗

看 我们可以将它分成3小块得到一些小长方形我们会求长方形面积告诉我怎么求

• 这个长方形的面积是什么是底f乘以高Δg 面积等于f·Δg

• 这个长方形呢它的高是g 底是Δf因此其面积是g·Δf

• 角落里这一小块面积是多少其高为Δg 宽为Δf所以其面积是Δg·Δf它会消失的 放心

这里引入一种说法 我觉得很合适它是所谓的"二阶项"我提一下这种说法 就不摊开讲了f是零阶项 f乘以小量Δg这整个是一阶项 最后它会保留下来而二阶项会消失

我需要用这三项来表示Δp它等于什么它包含小块面积fΔg别忘了除以Δx再看这一小块即g·Δf 然后除以Δx然后是这一块 可以不用管它用它除以Δx 这是第三块

目前为止我们一直在用代数分析图像用代数分析积Δp/Δx微积分坐不住了于是需要引入微积分的奇妙步骤

让Δx不断 不断减小 不断接近于0那么x不断减小时 这三项会如何呢所有含Δ的项都会减小这一项在x→0时会怎样呢随着x变化量变得很小 很小Δg/Δx这一项在x→0的极限条件下 就是这个啦这一项则得到g 还有后面眼熟的比例df/dx

这里分成三块 是很酷的事情 看到了吗

• 我们得到了这一块面积fΔg它最终会变成这个

• 而这一块 最终得到这个

• 那这一烦人的小块呢随着x趋近于0 这里得到df/dx 这没问题那么Δg会如何呢 它会趋近于0所以小量只能除以一个小量否则这里得到df/dx整个比率会变成0不管它

最终我们剩下两项这就是乘法法则的两项可见 乘法法则在直观上 是说得通的

7.4.2 除法法则推导

下面讲除法法则如何处理f/g呢我把它写在第四块黑板上怎么处理f/g呢关于它我们知道些什么

我们可以先同时乘以g 得到积的形式看这样好多了当然 待求的式子在这里 不过没关系两边同时求导左侧的导数显然是df/dx这边可以用乘法法则得到g(x)(dq/dx) dq/dx就是要求的它现在还空在那呢也是我们要找的除法法则然后还有第二项 q(x)(dg/dx)这是对乘法法则的应用

好了 我们找到了dq/dx下面需要将它放到等式的一边需要把这一项移过来然后还要同时乘以…这个q 可以写成f·gq=f(x)·g(x)我将…错了应该是f(x)/g(x)幸亏发现了以上是乘法法则 下面我将单列出dq/dx得到的表达式就是除法法则了

可以两边同时乘以g同时乘以g 得到g(df/dx)这一项则移到另一边同时乘以g 消掉了移项后多出一个-号 f(dg/dx)这个也要乘以g 所以得到g²(df/dx)错了 应该是dq/dx 这才是我要求的

这里还是用到了代数来整理方程移项 同时乘以g

看看 我最后要干嘛我最终要得到那个公式已经算到了这一步两侧只要同时除以g² 马上就能得到dq/dx我将左侧的g(df/dx)-f(dg/dx)照抄然后所有这些都除以g²这个公式看相不大好 大家必须习惯g²这就是除法法则

用语言描述下下面就是我每次使用时背的口诀我是这样记的这是个丑陋的公式 可以背背口诀这里是f/g 我习惯把f叫作上 把g叫作下我这样背的 下乘上导减上乘下导除以下的平方口诀不大好记 反正我是记住了

7.5 负数次方

这样一来我希望继续推广这个模式我很喜欢这个模式我们有了除法法则两个法则讲完了 下课之前我再讲一个例子这个例子当然和除法法则有关我要讲的是x的负数次幂

所以今天最后一个例子是这样的除式中 f(x)=1 然后是g(x)这个是f 这个是g这是一个除法运算它相当于x的-N次方什么意思 我们还是可以考虑指数负指数幂就是正指数幂的倒数所以这里就放在分母了 然后可以运用疯狂的除法法则

想想除法法则x的-N次方 写成除法 求导求导q 即1除以x的N次方 其导数是…好 准备用除法法则下乘上导上只是一个常数 其导为0减 别忘了减号 减上乘下导这里我们可以使用N为正数的模式下导是 N乘以x的(N-1)次方还是两项 但中间是减号最后别忘了 还要除以一个g²x的N次方的2次方 就这些了

当然 还得化简然后就算完工了这个是0 消掉了这个是-N 很好根据我们的模式 这里应该有个-N指数-N应该出现在这里再看看其它部分 x的幂次呢这里是x的N次方而这里有两个N所以可以约掉一个 保留一个上面还剩下x的-1次方 别忘了耶 这就是我要的模式

结果中原来的指数-N乘下来了然后是x小一次的幂这是x的-N次方 上面还有个-1次方所以最终的结果是-Nx的(-N-1)次方这和我们的模式正好吻合负的大N满足前面小n的那种模式

这就算解决了x的幂函数求导问题了我们将它作为乘法和除法法则的例子很好的解决了

7.6 结束

还有一点要说明的我们还没有…虽然分数和负数的情况我们已经搞定了但还有一些其它的数没有搞定 比如π次方尚不知晓如何求导诸如x的π次方 这样的函数因为π虽然是正数但它不是分数 我们无能为力

大家知道结果是什么吗对 求导会得到πx的π-1次方怎么说呢 除了这里 我一辈子都没用到过x的π次方这里我们只是想推广幂函数导数的结论这只是另一个例子

好了 这是除法法则 我们今天先讲了乘法法则幂法则 然后通过除法法则推导了这些计算除法法则还可以用来求导sinx/cosx这样的函数我们学了很多 以后要讲的重要法则将是"链式法则"好了 下次再说 谢谢

本视频由MIT开放课件制作吉尔伯特•斯特朗主讲视频由Lord基金赞助播出帮助OCW继续提供更好的免费课程资源请登陆ocw.mit.edu/donate进行捐助