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线性近似和牛顿法

13 线性近似和牛顿法
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13 线性近似和牛顿法
概述
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线性近似例1
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牛顿法例1
牛顿法例1
线性近似例2
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牛顿法例2
牛顿法例2
出处
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两项应用
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相同思想
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所需条件
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基本思想
基本思想
Δf/Δx含义
Δf/Δx含义
取近似值
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线性近似公式
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线性近似
线性近似
讲牛顿法
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牛顿法条件
牛顿法条件
牛顿法公式
牛顿法公式
牛顿法
牛顿法
例1:求√9.06
例1:求√9.06
例1:已知条件
例1:已知条件
例1:选取点a
例1:选取点a
例1:f(a)及f'(a)
例1:f(a)及f'(a)
例1:应用线性近似
例1:应用线性近似
例1:图示
例1:图示
例2:x²-9.06=0
例2:x²-9.06=0
例2:选取点a
例2:选取点a
例2:F(a)及F'(a)
例2:F(a)及F'(a)
例2:图示
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例2:应用牛顿法
例2:应用牛顿法
相同例子
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误差较小
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讲其他例子
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例3:e的0.01次方
例3:e的0.01次方
例3:选取点a
例3:选取点a
例3:f(a)及f'(a)
例3:f(a)及f'(a)
例3:应用线性近似
例3:应用线性近似
线性近似是什么
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幂级数
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线性近似本质
线性近似本质
讲牛顿法例2
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牛顿法一般用法
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例4:x²-9.06=0更优解
例4:x²-9.06=0更优解
例4:选取点a
例4:选取点a
例4:F(a)及F'(a)
例4:F(a)及F'(a)
例4:图示
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例4:应用牛顿法
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误差极小
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牛顿法应用
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总结
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说明
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线性近似和牛顿法

08-02
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13 线性近似和牛顿法

出处 出处

https://ocw.mit.edu/courses/res-18-005-highlights-of-calculus-spring-2010/

概述

引入 两项应用

好 今天讲两则导数的应用。

  • 第一则应用是,求函数f在x点的近似值 f(x)。

  • 第二项应用是解方程,这里用大写的F表示,表示这里的函数与前面不同,用F将它们区别开来,这就是解方程的问题,牛顿给出了方法,经过数个世纪 方法仍然适用。

说明 相同思想

这基于什么,两种应用都基于同样的思想。

所需条件

假设存在一点,在要求的x附近 在问题的解附近,这一点记作a,假设我们知道其斜率,知道此点处的导数,于是可以用f'表示导数,这就是这一点处导数的定义,而且我假设导数值是已知的。

基本思想

然后我想通过已知的 附近a点处的斜率,来逼近解,前面是求f(x) 后面是求x。

Δf/Δx含义

还记得吧 这是Δf/Δx,注意到在不取极限时 这是两相邻的不同点,相距Δx,f在这些点处的函数值,f的变化量除以x的变化量,这就是x逐渐趋于a点时,函数的导数。

取近似值

看下面的思想,我现在把这个擦掉,此时等号不再存在,变成一个约等号,斜率… 这是Δf/Δx,它不等于df/dx 不等于这个,但当x接近a 这个就会大体上等于,该点处的瞬时斜率,这就是我要用到的近似,作为f(x)的近似值。

推导 线性近似公式

对于左侧这个应用,已知x 我要求的是此点处的f值,那么 根据这个公式,把x-a乘过来,再将f(a)移过来,得到什么,约等号还在这里,把f(a)移过来 这样,然后是(x-a)乘f'(a),这就是公式了。

线性近似

我先稍微讲一下这个公式 然后来点例子,如果想求附近某点处的函数f值,一个好的办法是,使用这种线性近似,线性 因为这个的图像是一条直线,这里是直线的形式 而不是曲线,这就是今天这一讲要传达的信息 沿直线,这是一条从点x=a开始的直线,它斜率同f一样 即f'(a),如果离得不太远,直线离f曲线也不会太远。

过渡 讲牛顿法

很好 等下再来讲例子,再讲讲这里对应的思想,记得写大写F,我来…找出它对应的公式,以帮助求这个方程的近似解,有何不同。

推导 牛顿法条件

现在 我要求的是x,要求的是x 而F(x)是已知的,它等于0,还是看这个式子 换成大写F,F(x)已知为0 x是未知数。

推导 牛顿法公式

还是像原来那样把等式整理一下,同原来一样 把x-a乘上去,然后这里总是约等于,F(x)=0,这里得到-F(a),然后除以F'(a),就是这个了,这就是牛顿的办法了,牛顿 和拉夫逊 将它推广到一般函数,这种近似解法称作:牛顿-拉夫逊方法 或称牛顿法,再一次地 我忘了… 这里应该是大F,黑板这右半边讲的都是大写的F。

牛顿法

当x和a相距不远,这个可以得到很近似的答案,待会 大家会看到一些图示。

线性近似例1

例1:求√9.06

好了 开始讲近似的例子吧,我的第一个问题 第一个例子是,求平方根,我的问题是 求,近似地求根号下9点…稍微偏离9这个值,9.06。

例1:已知条件

这怎么应用刚才的方法,这里函数是平方根函数 x的1/2次方,其导数f' 这我们是知道的,是1/2乘x的低一次幂 -1/2次方,即1除以2倍根号x 很好,知道了函数 知道了导数。

例1:选取点a

然后选取附近且简单的点a,附近 表示离点9.06不远的点,同时平方根要好求,因此 要选的点是,a=9。

例1:f(a)及f'(a)
  • 因此9的平方根正解是3 没问题,9处的函数值很好算。

  • f'(a)等于1除以2倍根号a 根号9,得到多少 简单 这是3 得到1/6,也就是说 我知道9处的值,这就是我们选取的a点。

例1:应用线性近似

那么近似怎么说,这是f在这个附近点的值,x等于9.06 这就是我要求的x,它表示9.06的平方根,即f(x) 约等于,f(a) 即根号9=3,很好 这是一开始的估值,只用了根号9,但后面还可以改进,引入差值x-3… 噢… x是多少,代入x=9.06 这就是真正开方的x,减去a 即9,再乘以f' 我们求得为1/6,这就是沿这条直线的线性近似,这个结果是多少,3加上0.06除以6 得到3点… 多少,这个差是0.06,除以6 得到0.01,这就是近似值,比3更精确,这是沿着直线得到的。

例1:图示

作个图告诉大家 我说沿直线是什么意思,这是平方根函数,大概是这样的,这一点是x=9,其值已知为3,还知道什么,这则是9.06 稍微远一点,我要找的是 这个点,要求的是根号9.06,这里是9,这则是9.06,我如何逼近该点呢。

我不打算沿曲线逼近 算出根号9.06的精确值,没必要算得比计算器还准确,我只打算沿这条直线,这是一条切线,它通过我们曲线上的a点 斜率也和曲线相同,可以看到,沿着直线 这里是3,这里有一小段,非常小的一段 肉眼几乎无法辨识,我选取直线上这一点,这个水平Δx就是0.06,这一小段就是0.06,而这个Δf,就是加在后面的修正0.01,怎么来的,由于函数这一点的斜率是1/6,水平移动0.06 向上就是0.01,我这里做的 就是取这个点,作为我 比3更精确的根号9.06的近似值。

牛顿法例1

例2:x²-9.06=0

这是例一 下面看例二,不过首先 我还是来个牛顿法的例子吧,现在转到牛顿法。找一个方程还是用前面那个问题,函数选x²-9.06 然后令它为0。

我想保证两个例子的相似性,因为答案…两个问题其实都是求9.06的平方根,那么… 显然 根号9.06是方程的一个解。

例2:选取点a

还是在解附近取一个点a,a可以取3,3很接近于正确解,正确的x是根号9.06,我离它很近了。

例2:F(a)及F'(a)

此点处,求出F(a),牛顿法需要知道F(a)以及斜率值,

  • a点的函数值是,3平方是9 得到9-9.06,结果是-0.06。

  • 而F'(a),F的导数是什么,导数显然是2x,而在a点处,显然是6,这就是2x 2a,这是2a,因为计算的是a点的斜率。

例2:图示

我们还可以画图,图像很有趣 我作一下F(x),函数F(x)是什么样子,是一条向上的抛物线,它从下面这里开始,向上弯曲 这样,这个点就是我要求的,这就是根号9.06,函数图像是x²-9.06,这就是我要求的点。

我不打算求它的精确解,我只想在附近找一点3,3点处精确值是已知的,斜率也已知,哈 我这种半吊子画画水平 图像都能看出来,这是3 写好一点,这一点的情况我了如指掌,我知道函数值,…这个其实非常小 负的,我还知道斜率… 这有点像,我把图像放大了,嗯 这里F是…这是-0.06,这就F的值,斜率则是6。

那么x是多少,想想解处的改进是怎样的,改进的近似值,不沿曲线求解 这过于精确,但要求太高,我沿这条直线,这就是更好的x,这好多了 看到没 噢…

例2:应用牛顿法

我这里把数字写出来 你就会发现好多了,牛顿法得出的x是多少,这里用牛顿的公式,根据牛顿公式,x-a 即x-3,牛顿公式我这里就写等号了,这里求的是近似x,负F(a)是多少,是+0.06,除以斜率F'(a)=6,得到0.01。

说明 相同例子

这两个例子实际是相同的,因为平方根函数的图像,只不过是平方函数翻转得到的,平方根函数和平方函数之间,其实互为逆函数,其图像关于x=y对称,因此现在斜率是6 原来是1/6,而且如果…看这个距离,这个是距离x-a=0.01,这就是我的结论,若竖直移动6个单位 水平移动1个单位,由于斜率是6,好 很好。

检验 误差较小

那么 近似准确度呢,我忍不住要问,如果用3.01乘3.01,得到的结果离9.06有多少差距,有多接近呢 当然 不会完全相等,做乘法 得到301,903,相加 得到9 然后是小数点,还有0601,不管哪种方法 得到的都是3.01,这就是9.06的近似值,平方3.01 得到的值稍大,稍微比9.06大一点,稍微有点误差,稍微有点偏大,将其平方,误差在万分位,即小数点后第四位,这是两个平行的例子。

线性近似例2

过渡 讲其他例子

下面回x到线性近似,我还有一个例子要讲,再回来给一个牛顿法的例子,这就是我的计划,例子一样两个,这对例子是相关的,下面两个例子有点不同。

例3:e的0.01次方

下面来看例二,线性近似,例二,还是求某某的近似值,取e的0.01次方,e的0.01次方 值是多少,函数是e的x次方,现在求x=0.01时的值,这就是我要求的,还是不求确切的值,还是沿切线求值,求近似解。

例3:选取点a

从哪开始呢,从离这个很近的点开始,而且该点的值我要知道,这个很近的点取作,选a=0,这离0.01很近。

例3:f(a)及f'(a)
  • 那么f(a),就是e的0次方,也就是1。

  • 根据直线的近似,我还需要知道a点的正确斜率,这里的斜率f'(0)我们知道,这是a f'(0) 0就是a,e的x次方导数很讨人喜欢 就是它本身,x=0点处 再次得到1,导数一样 还是e的0次方 还是1。

例3:应用线性近似

现在 我知道了a=0处的情况,我现在想近似地知道邻近点0.01处的情况,e的0.01次方近似等于…,e的0.01次方 这就是e的x次方,这是我的函数 我想求其近似值,通过已知点的值,已知点0处的值,正确的指数函数值是1,加上(x-a),乘以这个邻点处的正确斜率,0 正确斜率则是1,当然 a就是0,我把a的所有已知条件都用上了,来求x处的近似结果,结果就是1+x。

过渡 线性近似是什么

有一种完美的方法 大家知道的,它能告诉大家 线性近似是什么。

复习 幂级数

还记得e的x次方的级数吗,函数是e的x次方,函数的近似是1+x,有什么联系,记得e的x次方,e的x次方的级数是1+x加上什么,1/2x平方,1/6x立方 这些都是高阶修正。

解释 线性近似本质

沿直线近似,忽略了这些部分,这些部分就是曲线e的x次方和直线的差,但如果离得很近,所以1+x… 这是1.01,x是0.01,这就是我的近似 1+x 这是我们关注的。

线性近似 可以用这个公式来求任意f的近似,在任意a处,线性近似与幂级数类似,比如e的x次方等于1+x+x²/2加上一大堆,相当于幂级数从常数项和线性项之后拦腰截断,这就是线性近似了。

你也许会问 下一项是什么,当然 我们还知道下一项是1/2x平方,再后面一项我们也知道,一般情况… 我告诉你下一项是什么吧,下一项是… 虽然用不上,有1/2 有(x-a)的平方,还有a点处的二阶导,这就是下一项了。

很好,明白线性近似的主要思想了吧,线性项以后就不要了。

牛顿法例2

过渡 讲牛顿法例2

最后 回头看一个牛顿法的例子,牛顿法的第二个例子。

牛顿法一般用法

我在想 我该怎么讲,我要按照它一般的用法来使用它,牛顿法一般是这样用的,求出解的近似,然后还要继续用它。

例4:x²-9.06=0更优解

从3.01处 再近似一次,所以继续同样的步骤,来完成牛顿法的下一步,但a不同了。

例4:选取点a

F(x)还是这 我还是要解这个方程,但我要比3.01更接近解,之前从3到3.01更接近了 现在重新从这里开始,a现在是3.01。

例4:F(a)及F'(a)
  • 我需要为牛顿法计算F(a),于是要平方3.01,减去这里来看看,3.01平方 我们算过 还在那,将它减去9.06,F(a)就是这么多了,这已经非常之接近了,但与第二次近似后的结果比起来 这不值一提。

  • F'(a)又是多少,取导数2x,a点处是2a,而a现在是3.01,所以斜率是6.02。

例4:图示

明白了吧,我正在移向这一点,也就是… 这个现在变成了a,这是第二次牛顿法的近似结果,这才是牛顿法通常的用法。

例4:应用牛顿法

下面求新的x,改良了的x,好过3.01的近似,根据牛顿法 新的x-a,我用的就是那个牛顿公式,x-a应该等于-F(a)即0.0001,除以F'(a) 6.02,这个可以称作Δx 这是小小的修正,它是负的 意味着我们需要稍微往回。

图上看得出,沿切线我们稍微有点超了,曲线比切线早一点越过横轴,这已经非常接近了,这就得到了新的x,这里 3.01减去这一小块。

检验 误差极小

这就可以用计算器了,你们可以自己算一下,用计算器算出这个,然后平方,这个新x … 算算这个…,求出新x,平方 减去9.06 看看有多接近,我相信误差在…,我也不知道是多少,3.01减去这么一小点的平方 这超出了我脑袋的计算能力,但我有信心 误差在…,新x的平方… 这里是x新的公式,牛顿法的第二次近似,我想 这减去9.06…,搞不清楚 反正有一堆0,你们肯定希望我至少弄个1吧,那我就弄个进来吧,我打赌 反正在很多0后。

牛顿法应用

牛顿法是一个伟大的成功,沿直线 沿下一条切线 再沿下一条,很快就能得到精准的答案,得到越来越多位的精确小数。

总结 总结

好 这是微积分的两项应用,源自于相同的思想,Δf/Δx的相同思想,一个应用中,未知的是f,而这里 未知的是x,两种应用中 公式都给出了,非常棒 非常简单 非常准确的近似答案,很好,感谢收听。

说明 说明

本视频由MIT开放课件制作,吉尔伯特•斯特朗主讲,视频由Lord基金赞助播出,帮助OCW继续提供更好的免费课程资源,请登陆ocw.mit.edu/donate进行捐助。

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