极值和二阶导数

https://ocw.mit.edu/courses/res-18-005-highlights-of-calculus-spring-2010/

大家好，今天讲二阶导数，希望大家已经准备好了一般来说，实际问题中不会涉及到更高阶导数但二阶导数非常重要二阶导数也就是导数的导数它在处理极大、极小值时作用很大这是导数的一项重要应用我们经常需要定位极值点，并判别是极大还是极小值

• 告诉你们吧定位极值点是一阶导数的职责一阶导数为0即为极值点如果图像中存在极大值或极小值要找到其在函数中的位置可以通过导数=0，或斜率=0来识别极值点此时函数趋于水平，根据向下弯曲或向上弯曲对应得到极大或极小值

• 极大还是极小，这就是二阶导数的职责了二阶导数表明，函数朝上还是朝下弯曲

距离-速度-加速度

这样一组函数就扩充为三个“微积分总览”一讲里，一组函数为两个距离和速度(函数一、函数二)其关系之前已经详细讨论了知道距离如何反求速度：取导数即可

现在则要考虑速度的导数延续距离-速度的说法二阶导数也就是“加速度”即速度的变化率加速或减速的率它记作这种形式若将速度看作一阶导数df/dt那么加速度就是二阶导数d²f/dt²，好

这相当于是这组函数的物理应用距离-速度-加速度，这是一组物理量加速度也就是牛顿定律F=ma中的a

对于数学来说，除了使用物理量我还可以使用图像语言来说明

• 函数一可以看作图像上的高度本例中，高度y=x²得到一条抛物线而这里是斜率

• 函数二对应的是斜率y=x²的斜率，是2x因此斜率在增加从图一也能看出斜率随着x在逐渐增加越来越陡

• 然后是二阶导数这个怎么叫呢弯曲性图像上用弯曲性表示二阶导数非常自然…2x的导数为2一个正常数这表明斜率正在逐渐增加曲线朝上弯曲

这个简单的例子中，我们将三个函数有机地结合了起来函数为正其斜率为正其二阶导数，弯曲性为正这就得到例子中的函数图像

y=sin(x)

下面看一个不同的函数下面是第二个例子此例中，不会再全是正的了

取一个熟悉的函数，sinxsinx开始是这样的这是sinx在0_{90度的图像，0}π/2函数y=sinx

• 它的斜率是怎样的呢我们之前学过sinx的导数，在画出之前先看这个图其斜率为正，对吧斜率开始时为1画得更像点，这里斜率为1斜率开始为1之后斜率逐渐减小为0；开始时为1标在这里，1这里画的是y'dy/dx有时也记作y'这样写更简洁特别是当处理二阶导数时更简洁y'即sinx的导数，我们知道是cosx非常简洁美观我们从一个熟悉的函数出发求导得到了它的孪生兄弟余弦就是正弦的斜率斜率从1开始，然后慢慢减为0这和余弦曲线是吻合的这就是cosx的图像

• 现在，我们还需要函数三还需要作出y''图像写在上面吧，y''，二阶导数cosx的导数是-sinx，好从图像上，能看出什么这里斜率为0现在说的是斜率的斜率斜率从0开始，逐渐减小因此二阶导数为负确实是负的，-sincos的斜率从0开始终止于-1由于cos在逐渐下降，所以其斜率为负斜率为负，逐渐减小这就得到了二阶导数的图像

那么图像如何弯曲呢向下弯曲随着x增加，斜率在降低斜率图像确实明显在下降而在弯曲性图像中弯曲性为负所以是向下弯曲而左边的例子是向上弯曲

下面引入术语“凸”¹表示向上弯曲而对于向下弯曲，引入概念“凹”

这只是一些说法图像上包含的信息可比这些词多多了看到了吗，图像虽然向下弯曲，但在上升

• 其斜率为正但斜率在下降

• 二阶导数为负；注意别搞混了二阶导数为负表示函数一向下弯曲

下面将图像延伸到90°、π/2之外这将很有趣下面一段图像会怎样呢

sin曲线当然继续回到横轴

• 因此斜率将变成负的，这与cos曲线吻合cos曲线会这样斜率最终变为-1这里斜率为负，看到了吗因此斜率图像在0以下而且，这里斜率为0

把这一点标记一下；把对应点都标记一下这些点非常重要

实际这就是极大值点了sin曲线在x=1时达到极大值达到极大值时，其斜率是多少到达极大值之后，就不会再上升了但此时又没开始下降所以斜率必然为0，看这里

• 那二阶导数，极大值处弯曲性会是怎样的弯曲性表明，斜率要下降了因此弯曲性为负极大值处的弯曲性为负好的我把sin曲线延伸了90°延伸了cos曲线，还要延伸弯曲性曲线-sinx函数也会回到横轴现在如何…这里再拉出来点

好了，在180°即π处很有意思标出来，这里就是180°这里非常奇妙我不知道怎么描述，但真的很奇妙对应这里的这一点以及这里的这一点

因此不管函数一中是什么情况这一点上，显然二阶导数y''=0这是图像上，新的观察结果虽然没有极大、极小值那么显眼…这里是极大值极大值是通过二阶导数为负判别的现在我很关心这点看出这一点到底哪里奇妙了吗

在这一点之前曲线一直向下弯曲但这一点之后，曲线开始向上弯曲了这一点上弯曲方向发生了变化二阶导数在这一点变号，看在框出的这一点之前弯曲性小于0弯曲一直是向下的，到这点之前但之后，奇妙就发生了

我在下面再画个图曲线一直向下弯曲，然后正好此点之后，开始向上弯曲这个点叫作这是今天最后一个数学名词了拐点别问为什么叫这个拐点就是二阶导数为0的点

这意味着什么这意味着，此时本例中曲线停止向下弯曲，开始向上弯曲随着二阶导数穿越0点弯曲的方向改变了这里是从凹变为凸这一点在图像中非常重要当然，没有极大值和极小值那么打眼

y=x³-x²

下面再画一个例子再来看下这些重要的点来了它绕来绕去的，我又想画好点所以就先画在这里了

好，就是它了这是函数y=x³-x²那么，看图之前首先要做的微积分步骤是什么

• 首先需要求导，求y'x³的导数是3x²减去x²的导数2x

• 今天还需要再次求导需要求二阶导数y''二阶导数是这个的导数x²求导后是2x，前面还有个3，总共6x而-2x的导数得到-2，对吧三次、二次、线性

• 顺便说下，y'''为常数，这个我并不关心而y的四阶导数，显然就等于0了

好，这些导数、这些公式这些y、y'和y''能为我作图提供不少细节

我们最关心的、也是最重要的，是极值点首先令y'等于…y'=3x²-2x，令它为0这就能求出极值点设y'=0可以把所有极值点一网打尽之后通过y''来判别是极大还是极小先设y'=0解是多少哪些点上函数停止住了(驻点)既不上升，也不下降

图像上其实很明显这里有一点斜率为0下面这里还有一个这一个点的斜率也是0

现在用代数求出它们这里有3x²=2x一个二次方程，显然有两个根其中一个是x=0另一个是多少求非零解可以消掉两边的x消掉x后得到3x=2解得x=2/3，耶这与图像完全一致

下面来看图看哪一个是极大、哪一个是极小

顺便强调一下…这个显然是极大值但注意了，之所以不称为最大值是因为它并不是绝对顶点函数在之后还会上升到无穷大因此该点只在其附近(邻域内)是最大值因此称为极大值(或局部最大值)

极大值处会有什么性质x=0处此处斜率应该为0x=0时显然成立而且极大值处，我还需要知道二阶导数公式在这里x=0时y''=0-2，结果是-2，很好结果为负二阶导数表示，函数向下弯曲；图像确实如此因此这里斜率为0处，是极大值而不是极小值

另一个极值点呢x=2/3处是什么状况那一点上y''是…看看y''的公式y''是多少6×2/3=4，再减2，得到+2所以此处y''为正此处是极小值x=2/3处应该是极小值

当然，它也不是最小值导数只能解释点周围很小很小范围内(邻域)的情况该点的导数无法了解，这边会无限下降因此这是一个极小值点(局部最小值)，好

知道函数后就能求出极大和极小值点但最好还能找出拐点想一想什么是拐点拐点是弯曲方向变化的分界点这段曲线向下弯曲这段曲线是向上弯曲曲线的弯曲性(凸凹性)在x=1/3处发生变化因此可以判断这是一个拐点那么如何找出、辨别拐点只需看这里的y''为负而这里y''为正而这点上y''为零

要证明x=1/3这点是拐点只要把x=1/3代入6x-2，结果为零就证明了这是一个拐点现在，我找到了曲线所有的特殊点

这些点其实是有实际意义的假设你是一个经济学家你正在分析美国或全球的经济统计数据

• 假设这里是极大值点很好的时光，但已经过去了之后就一直下降了我们可以把y看成世界生产总值或国民生产总值

• 数据从这里开始下滑曲线的斜率为负二阶导数也是负的数据一直在快速下滑

• 在某一时刻，虽然经济持续下滑但还是能看到复苏的迹象从哪看出来的呢实际上曲线开始向上弯曲这也许就是视频录制时的现实情况我觉得虽然数据继续下降，但速度开始趋缓

• 在某一点，希望不是很远我们会到达最低点，然后反弹虽然不知道在哪，但肯定是在拐点之后某一点要是我知道的话，数学会变得更有用这明显很难做到

因此，这是引入二阶导数的一个例子

这节课讲的是极大值和极小值可以说这是导数最大的应用之处设导数等于零，然后解题找到极大值和极小值点我碰到微积分里的大多数应用问题都要令导数等于零

上班的最短时间

好，我来举个特定的例子这些图像和简单函数都是我挑选的sinx、x²、x³-x²现在，由我来提出问题数学就是从不断地提问中发展出来的提出问题，然后写出函数表达式这是一个我每天都要碰到的问题

我住在这里，这里是我家麻省高速是通往MIT最快的路我把麻省高速画在这里这里是MIT我要尽可能快得到达那里其中有一部分时间会消耗在几条市内街道上我的确要开车经过这些街道然后上麻省高速；假设这里的车速要比街道快两倍问题是从哪里进入这条高速公路然后去MIT最快

假设我们出门时路况很好慢的时候麻省高速还没一半快…这里还是假设两倍快我应该沿直线开到公路上吗，应该不是这不是最佳路线我应该沿着某条路开到高速公路我也能沿着小路开到MIT，但这会很慢假设速度分别是三十和六十英里每小时这是我的车速，30和60

现在，可以用一些字母表示用a来表示这里的距离也许长三英里左右这是到达高速公路的最短距离沿着路线a开车的话速度就是三十英里每小时然后开上公路，用b表示，速度六十英里每小时这是一种可能但我不认为这是最佳方案

你们应该有更好的方案我认为我应该以某一角度到达公路然后从这里上高速，问题这一点在哪

我们就有了一个微积分的问题假设我可以从任意一点进入而不仅限于固定的几个入口问题是到底从哪进入呢

微积分能解决这种x连续的问题我把这段未知量设为x设置未知量是一个关键步骤我还可以将这个角度设成未知量这也很方便还是设距离为x吧那么，这段距离就是b减x也就是我在高速上通过的路程我试图使我所花的时间最少

我以六十英里的时速行驶在高速上距离除以速度就得到时间，对吧我有记错吗提醒一下，距离等于速度乘以时间两边同时除以速度时间就是距离除以速度距离除以在公路上行驶的速度

现在，我还知道了街道的距离并且这里的速度是三十英里时间会消耗得更长一点这段距离是多少这段是a 这段是x由勾股定理得出斜边长这代表街道上的行驶距离

接下来我该怎么做我有了一个时间的表达式我要求这个表达式的最小值可以通过先求导再使导数等于零来求极小值先求导，再使导数等于零微积分公式就有用武之地了

现在我开始求导数然后设其为零由于b是常数，所以这块的导数是负的1/60，对吗加上这块的导数，这里得到1/30先处理常数，再处理剩余的表达式这里有个平方根平方根即1/2次方提出一个1/2，然后求导幂次减一得到-1/2次方这意味着还是有平方根但有个负号，因此写在分母里根据链式法则，不要忘记复合函数里面的表达式得到2x

关于链式法则，无论你是通过看书学到的还是现在看这个视频才知道的对于求复合函数的导数来说这一法则相当有用提醒大家，以后会有关于链式法则的讨论这个法则非常重要你们现在要记住的是对里面的函数也要求导即对a²+x²求导得2x

现在，令导数等于零先将分子、分母上的2消去然后令表达式等于零这是什么意思呢这一部分为减，这一部分为加我想将负值部分移项，使得两边相等当1/60等于这个麻烦的表达式由等式两边相等得到导数等于零我要找的就是导数为零这就是我得到的方程

现在来解这个方程好要解这个方程，应先两边同时乘以60没错吧两边同时乘以60这边30就没了，得到2分子得到2x现在来处理麻烦的根式，将其移到等号左边我想我想这就是我要的这个等式与先前的等式等价，但更简单两边同乘60再乘以根号(a²+x²)看上去很棒

好，这个等式又该如何来解剩下的麻烦来自于根号可以使两边平方来消去根号两边平方后，得到a²+x²2x的平方就是4x²现在得到一个新的等式更容易解了

如果两边同减x²，等式还要简单这样等式就成了a²=3x²换句话说，这个最佳的x是现在我要用开方来解出x将3移到左边，再开根号最后得到a/根号3应用题解决了

一个极小值问题建立一个时间的函数找到最快的到达方法设置关键变量x，然后求导，再化简这就是计算微积分的步骤最后，进一步化简并求出结果

这里的答案是根号3分之a现在我们知道该怎么做了只要这里有入口，开进去就是最短时间了事实上，这是一个漂亮的答案如果这里是a/根号3，那么这个角就是30°应该是π/6吧对，没错这是用微积分算出的结果

以30°的角度行驶；但愿这个方向有条路就好这微积分可保证不了然后从这里进入高速公路

其实，得到30°这么漂亮的答案不得不让我联想到这是因为30和60的速度设置比率是1比2要知道sin30°=1/2这两个事实有着必然联系

如果我将数字变一下，答案会跟着改变的但是这张图基本上不会变化多少

还有另一点需要指出否则题目不能算真正完成如果高速公路上的距离b很短这样走就会走过斜边的端点可能会超出MIT的位置

假设MIT在这里这种情况下最小值就不在导数为0的地方了 ²假设MIT在这里，最好的方法就是走直线

…你的车都不必开到高速公路上这表示函数图像上…图像我没画出来 ³如果画出来，y'=0只能求得函数的极小值点

但这个补充的条件中直线行驶表示边界处的函数值，这才是到MIT的最短时间

这种情况是会经常发生的比如当曲线一直下滑，最后在小于极小值点处终止由于曲线的这种特性使得最小值就在曲线末端没办法，这时末端才是最小值点

好，我来总结下这节课讲的内容先看这里，这节课讲的是极大值和极小值通过二阶导数，我们知道了怎么找出极值

然后举了几个例子我举了一个极小值的例子此时二阶导数为正我还举了一个极大值的例子此时二阶导数为负这里又讲到了sin和cos，这些例子都很不错

理解这些需要一些耐心我建议你们再找个简单函数来练习比如求cosx的极大值、极小值和拐点拐点就是二阶导数为零的那一点此时曲线弯曲的方向会发生改变我们并不需要一个拐点来测试…

实际上我的课还没上完因为这里我还没计算二阶导数来证明这是一个真正的极小值这是我本应该做的对这个式子求导的话，麻烦可大了其实二阶导数不用求出来只看一下它的符号就行了这个问题中，二阶导数必然是正的 ⁴意味着曲线向上弯曲表示通过这些步骤算下来算出的是时间的极小值算出的是时间的极小值而不是极大值

好，微积分的这项重要应用就讲到这里谢谢

本视频由MIT开放课件制作吉尔伯特-斯特朗主讲视频由Lord基金赞助播出帮助OCW继续提供更好的免费课程资源请登陆ocw.mit.edu/donate进行捐助

1

按照国外统一定义f''>0为凸，表示向上弯曲，即开口方向向上；相对的凹为f''0时f'(x)>f'(0)，斜率变化率为正，f''>0

2

最值的一般求法：比较所有驻点(f'=0)处及边界点函数值，得到的最大或最小值即函数最值

3

教授这里讲的情况其实就是最值取在边界点x=b（而非驻点）时的情况

4

其实这里f''的符号，可以通过f'的单调性求出，简单说：x>0时f'(x)>f'(0)，斜率变化率为正，f''>0