研究型数学家的自然状态是被挫败的，被困惑的。我们总是被那些我们渴望解决的问题包围着，但我们无法解决。
有时它只是告诉你问题。它还没有准备好。它还未到时机，必须先在其他问题上取得进展。
这是一件事，顺便说一下，这是电脑游戏教给我的。在许多电脑游戏中，你知道你的宝藏就在门后，但门是锁着的，所以你需要一把钥匙，所以你被卡住了。但当你找到钥匙的那一刻，你知道，然后你迅速回到这扇门前，你可以打开门。
有时发现一个问题是非常令人满意的，十年前你解决不了的问题现在有更多的工具，有更多的技术，问题得到了解决。
有些问题我花了多年时间研究，但没有找到正确的想法，许多个月，但尝试事物并反复看它们为什么不起作用的过程在我最终找到有效的方法时起到了关键作用。
或者我之前的部分成功，这些不足以导致一个完整的解决方案，但它们经常在最后派上用场，我经常想到滚雪球有时解决一个棘手的数学问题就像试图撞开一扇卡住的门，你不断地用肩膀撞它，但它不动。但每次你这样做，都会让门松动一点，然后当你最终找到正确的击打方式时，门就打开了，你只是跌跌撞撞地穿过去。
当我还是研究生时，我总是印象深刻。当我研究一个问题时，我会花一周时间撞头，尝试各种方法，然后我会把我所做的展示给我的导师。他会想几分钟，然后说，哦，你知道，你面对的问题吗？它让我想起了某某在这篇论文中所做的。你会去文件柜里翻出一份小预印本，当你阅读时。这篇论文有和你一样的问题。他们的解决方案可能也适用于你。我会回家阅读它，他通常是对的，他们解决的技术，就是我花了几个小时研究的问题。
这向我展示了经验往往胜过精力，如果你知道该做什么，你可以节省大量的努力。
随着年龄的增长，我发现，我的精力减少了。我不能像以前那样在一个问题上花费数小时。但我经常能看到与现有问题的联系。我能比以前更有效地利用我的经验。
有时一个任务太大太可怕，以至于无法开始，你必须在心理上将其分解成更小的部分。
曾经有一个项目，我们五个人一起研究一个相当难的问题，我们认为我们在过程的早期就已经解决了它。
我们只合作了几周，我们有了这个方法，它似乎有效，我们非常兴奋，我们花了几周时间写下来。但后来我们中的一个人，在校对时，注意到在一个论点中有一个案例被遗漏了，有一个漏洞。我们惊慌失措，我们试图修复它。我们尝试了很多，很多方法，但它无法修复。有一个部分我们根本没有适当考虑。但到那时，我们已经在心理上对这个问题投入了很多。我们已经体验过解决它的快感。
所以我们继续研究它，事实上，持续了两年。但如果我们没有早期的那种希望，我们可能早就放弃了。但因为有了那种早期的心理激励，我们坚持了下来。最终，两年后，我们找到了正确的解决方法。
这是我最为自豪的论文之一，实际上。但重要的是我们早期犯了错误，给了我们这种希望，我们离解决方案很近，而实际上，它比我们预期的要远得多。
所以有时机缘巧合会以有趣的方式起作用。如果我要建议学生在感到困境时该做什么，我会说这完全正常，每个人都会遇到这种情况。事实上，如果你不经常感到困境，你就没有挑战自己。
人们常常以二元的方式看待成功或失败。你知道，你建了桥或没建桥。你烤了蛋糕或没烤蛋糕。但在数学中，它实际上是一个谱系。你可能没有完成主要任务，但你解决了一些特殊情况，或者你已经证明了某种技术的前景，但它还不够成熟，无法解决整个问题。有时你会意识到问题还不成熟，你拥有的技术并不合适。这些都是有价值的东西。
所以即使你没有具体的，有形的输出，你通常对问题的理解比开始时更好。
这是你在这个领域需要具备的心态。当你研究一个难题时，期望完美的成功率是不现实的，但你通常可以比开始时处于更好的位置。这才是真正要追求的。
有时你会过于执着于一个太难的问题，但你坚信你能解决它。
你花了很多时间研究那个问题，而不是研究更可行的问题。我们称之为一种疾病，一种数学疾病。
所以我们都要学会有时深呼吸，退后一步，承认有些问题超出了自己的能力范围。这并不一定是关于非常聪明或非常博学。
有些问题基本上数学还没有准备好解决。不管你有多聪明。
所以你必须学会放手一些问题。
好吗？今天我们学到了什么？每个人都会陷入困境。如果你没有遇到障碍，你就没有挑战自己。当你陷入困境时，利用所有其他资源。经验往往胜过精力。最后，有时你需要学会放手，只是等待一下再回来，有时刷新视角，你就能看到之前没看到的东西。
