有一件事让我感到惊讶，并且我在我的数学职业生涯中较晚才学到，那就是解决复杂问题的过程往往通过叙述，通过讲故事来完成。
我曾经认为数学是一门非常非个人化的学科，你只需呈现方程、定理和论点而无需上下文。但实际上，上下文非常重要。关键往往是讲述一个好故事。数学叙事将抽象的数学问题与现实世界的背景结合起来。
它可以帮助你看到你的目标不仅仅是希望找到x。将一个问题融入可理解的故事背景中，也能为你提供关于它的洞察或线索。这有助于观众理解发生了什么。如果有主角，有反派，如果有一个需要解决的目标，有障碍，以叙事的方式构建内容，可以激活大脑的某些部分。如果你想要发展你的技能，寻找类比，看到联系，基本上最重要的事情是提问，问题越愚蠢越好。真的。所以举一个简单的算术例子，当你将两个负数相乘时，比如负三和负四，你会得到正数十二。但这对许多人来说并不直观。对许多人来说，两个负数，组合在一起形成另一个负数。因此你可以问，你知道，是否有一些类比可以用来解释这一点？所以也许你可以使用经济类比。如果你想知道更多，比如3✖4，你可以这样说，好吧，假设我每小时赚3美元做某事，你工作了四个小时。所以每小时你得到三美元，四个小时后你得到十二美元。但现在假设不是每小时赚3美元，而是每小时花费3美元。可能是你在用水或者其他东西，比如用电，它每小时花费你3美元。所以四个小时后，这将花费你12美元。这就是为什么负三乘以四是负十二。那么你可以问，如何进一步推动这个类比？
那么你可以问，如何解释负三乘以负四？嗯，假设你知道你的水在流动或者类似的事情，它每小时花费你三美元，但你成功关闭了水四个小时。所以你节省了四个小时的费用，因此你节省了12美元。这就是为什么负三乘以负四是正十二。
通过探索这个类比并提出关于它意味着什么的问题，在这个类比中意味着什么，你可以获得对负数相乘真正含义的理解，你的直觉现在比以前更好了。实际上将数学对象拟人化是非常有用的。它们不仅仅是x和y。
如果你听数学家谈论一个问题，他们可能会说，这是敌人，某些东西是盟友。你知道，就像我们可能有一个强大的工具想要应用。但是为了应用它，必须满足某些条件。于是你开始专注于这些条件。如果你想求解某个未知的x，你可以把它看作几乎像一场侦探游戏。有一个神秘的对手，你不知道它的位置是否在x。因此你需要确定x在哪里。这让你进入一种思考线索的心态。你可以开始使用排除法。所以x不能是这个，因为如果x等于这个，那么就会发生这种情况。你知道，这种情况不会发生。这可以激活你思维中的侦探方面，帮助你意识到如何解决问题。
接下来我要谈一个例子，说明如何使用类比或叙述来真正理解一个数学概念。
我将使用的例子是民意调查。如果你有一个庞大的人口群体，例如美国的人口，你知道，几亿人，你想知道他们在某个话题上的立场，比如有多少人投票给某个政治团体。我们有这些民意调查，当你第一次了解民意调查的工作原理时，它是反直觉的。一项民意调查可能只抽取了2亿潜在受访者中的500人，这只是整个群体的一小部分。然而，民意调查可以非常准确。关于民意调查的一个事实是，人口规模实际上并不太重要。重要的是样本大小。
因此，1000人的调查会比500人的调查更准确，无论总人口规模是多少。这很反直觉，但一个好的类比可以真正澄清情况。我喜欢用的类比是海洋的盐度是多少？你只需要取一滴海水再次品尝它，就可以知道海洋是咸的。从一滴海水中，你可以立即判断出海洋充满盐分。原因在于盐在海洋中分布得相当均匀。这个类比的美妙之处在于，它不仅解释了为什么人口规模不那么重要，还告诉你了局限性所在。如果海洋包含淡水区域和盐水区域，如果你采样的区域不对，你可能会对整个海洋的盐度产生误导性的看法。
有时民意调查失败是因为它们没有足够混合地抽样整个人口群体。尽可能随机地抽样是很重要的。
尝试从不同地区、不同人口统计特征、不同社会阶层中抽取所有人。如果你的人口中男女比例为50比50，你应该尽量抽取一个同样为50比50的样本。
如果不是这样，你可以用数学方法进行修正，但如果样本接近代表性混合，结果会更准确。类比是一种很好的方式，可以同时使用大脑的两半，理性的一半，形式化的一半，使用非常精确、严谨的思维方式，以及直观的部分，使用类比和直觉。高级数学训练的一部分是学会如何立体地看待问题，并知道如何来回转换。来回转换实际上是做数学中最有趣的部分之一，因为你真正感到聪明的时候就是当你建立了联系，并看到数字和方程如何与你的直觉相匹配。
有时直觉会误导你，例如。
许多数学都围绕着精确到小数点最后一位来解方程展开。直到二十世纪，人们才真正意识到，有许多问题，许多实际问题，无法得到精确解，你真正想要的只是一个近似解。
例如，牛顿，众所周知，提出了两体和引力问题，如果你有两个大质量物体，如太阳和地球，你可以非常精确地描述它们的轨道，
人们花了几个世纪试图解决所谓的三体问题。如果你有三个天体，如地球、月亮和太阳，轨道的确切公式是什么？没有人能找到确切的解。
事实上，我们仍然没有这个问题的确切解。但事实证明这不是要问的正确问题。要问的问题是，我们能否计算出足够长时间内的轨迹以达到足够的精度？比如如果你想让火箭到达月球，距离月球的正确位置相差半米是可以接受的。一旦你将问题放在寻找近似解而不是精确解的背景下，你就可以使用完全不同的技术集。有一个完全不同的叙述方式。只要误差不失控，你可以容忍一定的误差。于是所有问题都变成了控制误差的问题。
例如，民意调查是另一个很好的例子，你知道，如果你调查一千人，你的民意调查完全偏离的可能性很小。
因为这一千人可能都来自某个有偏见的人口统计群体。这非常不可能，特别是如果你做了足够的随机化，但总是存在极小的失败可能性。但对于许多应用，拥有快速且廉价的方法，即使有这种极小的失败可能性，也是可以接受的。因为比如如果你想驾驶飞机，你希望飞机有近乎100%的机会不会解体。但如果你只是想从A发送一封电子邮件到B，你知道，如果交付失败的概率是1%，那也不是太糟糕。
了解你的问题可以接受的误差范围对于找到正确的框架很重要。那么，这里的要点是什么？首先，用叙述观点类比来构建问题可以带来巨大的不同。其次，数学并不总是黑白分明的。第三，一个好的叙述可以使你以实用的方式理解一个抽象的数学问题。
它可以帮你看到解决方案不仅仅是一个数字答案。然而，一个坏的叙述，会让你认为你需要一个实际上不必要的解决方案，比如一个问题只需要近似解却要求精确解。
