如果我总结一下什么是好问题，它应该超出你当前的能力范围。它可能只包含一个你不知道如何解决的难点。但其他方面，你对如何进行有一些想法。希望问题与你已经具备的某种直觉有联系。
许多问题具有几何”味道“因此你可以使用特殊的直觉。
有些人天生对数字非常敏感。因此实际上有一个问题，其中有很多数字，你可以利用你的直觉。所以它必须与你的技能相匹配。
在这个问题上你是成功还是失败并不重要而在于你是否能从中学习到东西。
提出正确的问题并以正确的方式构建问题的能力我认为，这种能力在人类活动中无处不在，不仅仅是在数学中。
举个例子，有一个机场收到了很多关于人们等待行李的投诉。他们试图通过缩短飞机降落和行李部署之间的时间来解决问题，但他们发现实施的解决方案并没有减少多少客户投诉。结果表明，他们真正不喜欢的是在传送带上等待行李的到来。实际上，解决方案是让从飞机走到行李传送带的时间更长。所以他们设置了一些隔板，让人们感觉像是在取得更多进展。当他们到达时，传送带上的行李很快就到了。这大大减少了投诉。因此，你的思维可能会陷入僵局。你非常确定某个方法会奏效或某个答案就是你预期的。
有时关键在于提出正确的问题，这才是获得满意答案的关键。
你不想要一个太简单的问题，太常规的问题。你总是想要解决那些已知技术之外的问题。
许多数学家使用的类比是将数学问题解决比作攀登。事实上，许多数学家是攀岩者。我自己不是，但我的许多朋友是，而且实际上是攀岩者。他们使用一些与数学家相同的术语。
一个困难的悬崖被称为一个问题。当你攀登悬崖时，你就解决了那个问题。如果你要从悬崖底部到达顶部，高度为30英尺，你不能直接上去那里。这是不可行的。但是你要找到一些手柄或平台，这更容易实现，几乎就在伸手可及的范围内。你只需稍微伸展一下。然后一旦你到达那个点，你识别下一步，这让你更接近目标，但又是刚刚在伸手可及的范围内，即使是最优秀的攀岩者，也会有某些悬崖面无法攀爬，即使拥有最好的工具和最佳的身体训练。
在数学中这是可以接受的。如果你能够取得一些新的进展，这只是比以前的攀岩者所能达到的高度稍高一点，那就很好了。
然后下一个人，可能是年轻且精力充沛的人，或者只是与你思维方式不同的人，可以继续前进。如果你失败九次没关系，只要你有一次部分成功，并且可以向其他人解释那次成功，让他们将其提升到下一个水平。
这就是数学发展的过程。你必须学会成为更大进程中的一部分，这个进程已经持续了几千年。我们比攀岩者更有优势，所以摔了也没关系你可以重新开始，所以你可以承担一些正常情况下不会承担的风险，比如实际攀爬悬崖。
通常会发生的是，一个非常复杂的问题可以被分解成易于处理的小块，每个小块都是可以管理的。
一个历史上的复杂问题通过分解成更小部分得以解决的例子是确定地球和火星围绕太阳轨道的问题。
所以在十五世纪，我相信尼古拉·哥白尼的著名理论，地球和火星以及其他所有行星都围绕太阳运行，即所谓的日心说模型。之前，人们认为太阳围绕地球运行。事实上，他提出的理论是正圆理论这是近似正确的，但它并不完全符合观察结果。
哥白尼也能够确定周期。他能够计算出地球每年绕太阳一周，365天。例如，火星，火星需要更长时间。它需要687天才能绕太阳一圈，所以这是正确的。周期是正确的，但轨道略有些偏差。
约翰内斯·开普勒，几个世纪后，意识到这一点，他使用当时最精确的行星测量数据试图准确找出地球和火星的轨道。他知道它们不是圆形的，但他无法确切知道它们的形状。他知道三角测量技术。所以三角测量是一种古老的导航技术。如果你在海上并且可以看到两个地标，并且可以测量这两个地标的方向角度，你可以画一个三角形，然后你可以在地图上定位自己。
为了定位地球，他想使用太阳和火星作为地标。但整个问题是，我们只有一个固定的地标，太阳和火星。火星也在移动，开普勒也不知道火星的轨道。
但开普勒意识到他可以将问题简化为一个更简单的问题。所以如果火星固定不动，如果火星实际上没有移动，那么它可以作为地标，你可以从太阳和火星进行三角测量。
哥白尼已经计算出每隔687天，火星返回到原始位置。所以开普勒的想法是从可用的火星和太阳的测量数据中取样，但仅在687天的间隔内取样。所以他取了相隔687天的测量数据。对于这一特定序列的测量，火星位于单一位置。因此火星实际上是固定的。然后它可以作为一个地标，他可以用来进行三角测量。
他能够使用这些信息首先计算出地球的轨道。然后有一种方法可以反过来计算。一旦你知道了地球的轨道，他就可以计算出火星和其他行星的轨道。他最终发现了我们现在称为开普勒行星运动定律。例如，他发现，事实上，所有行星都在椭圆轨道上运行。
但关键是将一个困难的问题（每个人都在移动）简化为一个更简单的问题（你有较少的移动部件）。
将复杂问题分解为简单部分的一个例子是群体测试的故事，这是在1950年代开发的一种技术。
美国军队想要测试士兵是否患有某种罕见疾病，有可用的血液测试。但血液测试供应有限，因此没有足够的测试来单独测试所有士兵。提出的解决方案是从许多不同的士兵身上取血样并混合在一起，这样如果测试呈阳性，这意味着该组中的某个人患有这种疾病，如果是阴性，则意味着该组中的任何人都没有这种疾病。
数学问题是，你需要最少进行多少次测试才能确定谁有病谁没有？现在，这个问题很复杂，因为可能性太多。也许有100名患者或100名士兵，也许其中一名有病，也许是两名，也许是三名，我们不知道。但你可以从简化问题开始。
假设恰好只有一个人有这种病，其他人没有。那么如何从100人中隔离出这个人呢？比如说？我们将展示环形测试是如何工作的，我们将用乒乓球直观地展示。
所以不是100名士兵，我们将有100个乒乓球，每个编号。这是第89号士兵。其中一个球里面有个小物体，摇动时会发出声音，表示那是患病的患者。你可以通过摇晃整个盒子听到声音。明白吗？你能听到轻微的响声。我们将通过把几个乒乓球放进这样的罐子里来进行测试，代表样本的混合。事实证明，正确的方法是将样本分成相等的部分，50/50，一次测试50个样本。好的，所以我们现在已经将人口分为两组，一组是从1到50，另一组是从51到100。我们将测试这个样本中的所有球。两种情况之一将会发生。要么我会听到响声，这意味着感染的患者编号在1到50之间，要么我听不到响声，这意味着感染的患者必须在另一组。但在任何一种情况下，我都将可能性从100减少到50。这个。我听到了响声。所以患者在这个组里。我可以排除51到100的所有患者，现在只处理这个组。好吧。所以。这就是我们如何使用第一次测试。现在我们可以重复这个过程。我们将把从1到50的人口分成两等份。现在我们将使用1到25和26到50。现在我们准备进行第二次测试。好的，没有响声。所以测试是阴性的。因此感染的士兵一定在26到50之间。我们已经排除了前半部分1到25。现在我们可以对我们新的人口26到50重复这个过程，并再次将其分为两个相等人组。响声。现在进行第四次测试，我们将把人口26到31分开，30到37。第五次测试没有响声。有响声，第六次测试。我将分成32和33和34。在34处有响声。最后，第七次测试，我只测试剩下的两名受试者之一，32，没有响声。所以经过第七次测试，我已经得出结论，感染的患者是第33号患者。
好的。所以经过七次测试，我们发现感染的患者是第33号患者。好吧。所以我们在这种特定情况下看到，我们只用了七次测试就将感染的患者缩小到一个候选人。结果总是这样，你从100名患者开始，并且知道正好有一人感染。始终需要，最多，正好七次测试才能保证隔离患者。这就是当有一个感染者时你所做的。
