思考数学，就像其他学科一样，实际上是一个非常社会化的学科。在过去，也许我们是由孤立在房间里的人进行的数学研究，他们会花几个月或几年的时间来解决一个问题。但现在，这是一个更加社会化的过程。
数学或其他学科中的问题如此跨学科，以至于我们需要与他人交流。与拥有稍微不同技能的人合作的一个巨大优势是，你可以学习他们的工具箱。
我以前在工作中不太使用数值模拟。我宁愿用笔和纸来解决问题，而不是编写一个小型计算机程序来为我做事情。但我曾与非常擅长模拟的人合作。看到这些图表和图形几乎实时出现，这非常有启发性。
有些人非常快。这是我们领域的未来。数学过去是一项非常个人化的活动。
人们过去常常孤立地工作。但现在合作变得更加普遍。我真的很享受与其他数学家的合作。它激发了我认为某些思维方式，这些思维方式在你独自一人时更难表达。利用互补性是很好的。我喜欢说，一个好的合作应该至少包括一个乐观主义者和一个悲观主义者。乐观主义者不断梦想着新的想法。因此，这些都是对问题的蓝天方法。而悲观主义者的工作是扼杀那些疯狂的想法，但保留那些合理的想法。如果你在一个项目中有太多的乐观主义者或太多的悲观主义者，它就不会奏效。
混合是好的。在合作中，多样性总是好的。
有时在合作中，你会尝试为人们分配明确的角色。但我发现最好还是顺其自然。
自然，有两位著名的数学家，哈代和李特尔伍德，他们写下了我称之为哈代-李特尔伍德合作规则的内容。其中之一是，一旦你同意合作，你就不要试图确定工作是否分配公平。每个人都做他们认为合适的事情。
试图确定，哦，你做了30%的工作，你做了60%，这从来都不是很有成效的。如果两个人在同一个项目上工作，他们不会各自得到一半的荣誉。至少在原则上，他们每个人都应该得到论文的全部荣誉。
我认为技术真的改变了我们合作的方式。但现在我们可以众包许多数学问题。
问题可以分解成许多不同的部分。你可以让一大群人分别处理每个部分，几乎像一条装配线。
你在整个科学领域都能看到这种现象。业余天文学家可以发现彗星。生物学家雇用业余爱好者尝试解决蛋白质折叠问题。
我们刚刚在数学中能够利用业余数学爱好者的群体。我肯定注意到的一件事是，当你有许多人在同一个项目上工作时，总有人能够将数学的某个晦涩领域或某些其他文献与你可能没有发现的领域联系起来。
过去，如果你不在同一所大学，唯一可以合作的方式是通过写非常长的信件。现在很容易，我可以与不同大陆的人合作，在你睡觉的时候解决问题，你醒来时他们已经取得了进展，而你在他们睡觉时继续工作。
这实际上很有趣。所以这个鄂尔多斯差异问题是由匈牙利数学家保罗 · 鄂尔多斯大约50年前提出的。
几十年来，这个问题没有取得多大进展。
但在2010年，一个名为博学项目的大型合作项目被启动来攻克这个问题。
有一位名叫James Gray的数学家，他对这个问题有一个相当丰富多彩的解释，将其视为逻辑谜题。我想在这里呈现这个版本。
在这个表述中，你想象自己被某个统计折磨者绑架，被放置在一个特定的房间里，你可以向左移动一步，向右移动一步。但如果你曾经向右移动两步或向左移动两步，你就会摔死。
也许在右边，这里有一些尖刺，好吗？在左边，可能有一条毒蛇或其他东西。我画得不太好，但重要的是你必须提前提交移动列表。每个移动可以是一步向左或向右。所以也许向右移动，然后向左，然后向左，然后向左，然后向右，然后折磨者会根据你给出的指示让你移动。在这个特定的情况下，你会先向右移动，好吗，然后向左，然后向左，然后向左。但你现在掉下去并被蛇毒死了。
所以这不是你提交的一组好的移动。还有一个转折。你的折磨者可以让你每三次或每四次移动一次，而不是按顺序每次移动。所以你不能只是提交一个永远向左、向右、向左、向右的列表。
所以折磨者可以选择序列。要解决这个谜题，实际上有点像解决一个伪代码谜题，如果你以前见过的话。你可以继续这样做一段时间，最终你会发现，到了第12步，你实际上没有选择余地了。无论你做什么，你都会输。
但你可以问同样的问题，允许你稍微多移动一些。所以假设你现在可以每个方向移动两步，但如果你移动三步，你就会输。
事实上，在这种设置下，你可以提交一个超过1000步的序列，让你保持活着。但如果你超过1160步，你会发现你都会死。
这是在2012年完成的，当时需要一个巨大的计算机程序来验证这一点。它被称为步行最大证明。
但实际的鄂尔多斯问题核心是，如果你进一步扩展会怎样？
你可以在每个方向移动四步，五步。有没有一种方法可以让你永远活着，或者你最终注定会输，无论你有多少空间可以来回移动？
在2015年，我解决了这个问题，并说，事实上，无论你有多宽裕的余地，最终，如果你会输，我们与几十人一起在线合作，我们曾在某一点上卡住，最终项目被解散了。
但几年后，我的博客上的一位评论者指出，另一个问题的突破也有类似于数独的元素。
他建议也许这两个问题是相关的。我记得在博客上回应说，不，这看起来不太可能。我最初实际上驳回了这个评论，但后来我回来再思考了一下，我意识到这个人是对的，我实际上能够解决它。
所以这是与许多人合作的结合，但也有独自工作。在最好的合作中，你感觉你们在解决问题时几乎是一个单一的思想，因为你们有相同的参考框架，你知道你可以非常快速地与对方交流。
研究的最大乐趣之一是你和你的合作者都站在黑板前，这个问题已经困扰了你几个月，你终于找到了解决问题的正确方法。你们俩都很兴奋，因为你们觉得它很接近。你把细节写在黑板上，一切都检查无误，然后你们互相击掌。
这是一种很棒的经历，比你独自工作时更有趣，因为你有一个人可以分享，他完全理解这种感觉。我一开始只学习了一小部分数学，但通过我的合著者和合作者，我学习了所有这些其他领域，为什么他们喜欢它们，我也开始喜欢它们了。事实上，我认为我在正式教育后学到的数学比之前更多，这要归功于所有与我合作的人。
