试错是解决问题最重要的方面之一。这是你常常看不到的。
当你在教科书、课堂或研究论文中看到问题被解决时，通常的情况是，几乎总是如此，你只看到正确的解决方案，那个奏效的方案，你看不到那些被剪掉的部分，这实际上是一种遗憾，因为那往往是最具信息量的部分。
我们常常不会展示那些令人尴尬的、愚蠢的初次尝试。
这是极其重要的，你需要有自由去尝试那些可能看起来很愚蠢的事情。当然，第一，它们可能真的奏效，第二，因为它们失败的方式往往非常有启发性。这为你提供了线索，帮助你找出解决方案应该是什么。
我记得物理学家鲍尔曾说过，专家就是在某个狭窄领域内犯过所有可能错误的人。
专家之所以看起来如此能干，唯一的原因是他们已经在各种可能的方式上搞砸过，他们知道如何在未来避免这些错误。
我必须承认，我在研究生院的第一年或前几年并不特别有成效。我学了些数学，上了些课，但我花了太多时间玩电脑游戏和探索万维网，这在当时是非常新的。
所以在研究生院的中期，有一次相当令人畏惧的考试，我们称之为综合考试，或者简称“综合”。这是一场两到三小时的考试，你需要选择三个数学主题和系里的三位教授。他们会就这些主题向你提问。如果你答对了，他们会问你更难的问题。如果你答错了，他们会问你更简单的问题。
我班上大多数其他同学，你知道他们花了几个月的时间练习这个。他们互相提问。他们进行了模拟综合考试。
我基本上只学了一点点，可能只有几周，但我觉得我可以应付过去。我考得不太好。我的知识非常肤浅。每当有后续问题时，我无法给出好的答案，问题变得越来越简单，我几乎无法解决大多数问题。
我唯一能通过考试的原因是因为我认为对我最具挑战性的那个主题是我唯一认真学习的，而那个主题我实际上答对了足够多的问题，让我得以通过。
但我的研究生导师后来把我拉到一边说，他非常失望，但用了一种非常温和和鼓励的方式，并说我应该努力做得更好。
我习惯于不做特别努力就能完成数学。所以当我意识到这种思维方式有局限性时，我不得不更系统地思考。
你必须实际规划你的学习。你必须从错误中学习。
所以，这些是重要的生活技能。
一个著名的失败实验并导致有趣发现的故事是希腊哲学家埃拉托色尼的实验。很多，很多年前，他住在埃及的一个叫亚历山大的城市。他读到有一个城市，另一个叫塞恩的城镇，那里有一口井。这口井有一个有趣的特点，每年的某一天，夏至日，如果你在正午时分往井里看，太阳会直射井底，你可以在井底的水中看到太阳的倒影。埃拉托色尼对这个故事很感兴趣。于是他决定等到夏至日，去他所在城市亚历山大的本地井。他发现，在正午时分，太阳，并没有直射井底。它有一个角度。
所以他的实验失败了。对大多数人来说，他们会说，好吧，这，我想现代的说法是假新闻，那个故事并不真实。但埃拉托色尼意识到，因为实验在他的城市失败了，但在另一个城市没有失败，地球一定是弯曲的。而且，他还意识到，事实上，他现在可以利用这次失败来测量地球的大小。事实上，他是第一个真正得到相当准确测量结果的人，我认为，误差在10%以内。他所做的就是测量太阳在亚历山大的角度。他知道亚历山大和塞恩之间的距离是几百英里。当时的数学相当原始，但仍然足够得到一个相当准确的测量结果。所以有时失败可以非常有成效。
这在科学中屡见不鲜。
我记得青霉素是偶然发现的，有人留下了一罐细菌培养基之类的东西。
数学的伟大之处在于，在实际学科中，失败是廉价的。
如果你在，比如说，建造桥梁时失败，你可能会付出生命的代价或大量的金钱。
但如果你尝试解决一个问题，比如你解方程但没有得到正确的x值，这没关系。
你只需去修正你的问题。你可以再试一次。著名数学家维特米亚·阿诺德曾说过，数学是科学中实验最廉价的部分。你可以尝试几乎任何事情，只需要一块黑板和一点时间，进入一种心态，目标不一定是快速或高效地解决问题，而是享受过程并从中吸取教训。
如果你在生活中开始这样做，我认为它可能会自然地成为你思维方式的一部分，成为另一种生活方式。
有时失败可以非常有洞察力和成效。
它可以表明，事情比预期更复杂，有些意外。艾萨克·阿西莫夫曾说，科学家最令人兴奋的话不是“我发现了”，而是“这很有趣”。
明白吗？有些事情出乎意料，有些事没有按计划进行。这不是失败。它通常是一个线索，表明有一些新的和令人兴奋的事情正在发生。
人们常常认为数学或科学的发展方式是，人们在一个问题上非常努力地工作，长时间没有进展，然后突然有一个“我发现了”的时刻，某种灵光一闪，突然一切都变得清晰，你找到了正确的方向。
实际情况并非如此。根据我的经验，你会长时间在一个问题上工作，这很令人沮丧，因为你看不到明显的进展，但你在地下做了很多工作。
你正在排除那些行不通的方法，你正在找到部分解决方案，你正在意识到与其他主题的联系，你正在为问题找到正确的视角。往往是一个非常小的东西，是最后一块拼图，突然一切都变得合理了。
这真的是一种清晰的灵光一闪。它更像是一种意识到你已经接近真相，你已经有了很多洞察力，你已经取得了部分进展，实际上，只需要最后一个要素就能让它成功。
当你在一个任务上失败时，心理上最自然的反应可能是，好吧，那真糟糕。我不想再做这个了。也许你会责备自己。当失败发生时，人们很自然地会试图找到该责备的人。
但数学问题并不像这样。通常你需要做的不是责备谁，而是找出是什么具体方面导致这个方法行不通。你必须找到失败的精确点，它往往会告诉你一个线索，告诉你正确的解决方案应该是什么样子。
实际上，对我们来说，重要的不是解决具体问题，而是过程和我们在提出这些问题时所学到的东西。那么，关键点是什么？首先，不要害怕失败。尽量避免将失败归咎于自己或他人。记住，失败往往为我们提供了找到正确答案的线索。
找出什么行不通以及原因。坚持是关键。保持耐心。这都是过程的一部分。
